GBM.png Die geometrische Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich von der Brownsche Bewegung her ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

Definition

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Sei $W\_t$ eine Standard-Brownsche Bewegung. So ist $S\_t\; =\; a\; \backslash exp\backslash Big-\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\})\; t\; +\; \backslash sigma\; W\_t\; \backslash Big$ eine geometrische Brownsche Bewegung.

Herleitung

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GBM mu.png

Die geometrische Brownsche Bewegung ist Lösung der stochastischen Differentialgleichung

$dS\_t\; =\; \backslash mu\; S\_t\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash sigma\; S\_t\; \backslash ,dW\_t,\; \backslash ;\backslash ;t\; \backslash le\; 0,\; \backslash ;\backslash ;\; S\_0=a$

Der Parameter μ heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist μ>0, so wächst der Wert von S in Erwartung, ist er negativ, fällt S tendenziell. Für μ=0 ist S ein Martingal.

Der Parameter σ beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess S. Ist σ=0, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

$dS(t)=\backslash mu\; \backslash ,\; S(t)\; \backslash ,\; dt,\; \backslash ;\; S(0)=a$,

die die Exponentialfunktion $S(t)=a\; e^\{\backslash mu\; t\}$ als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische Brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Eigenschaften

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• Erwartungswert: für alle $t\; \backslash ge\; 0$ gilt: $\backslash mathbb\{E\}(S\_t)=a\; e^\{\backslash mu\; t\}$

• Kovarianz: Für alle $s,t\; \backslash ge\; 0$ gilt: $\backslash mathrm\{Cov\}(S\_s,S\_t)=a^2\; e^\{\backslash mu\; (t+s)\}(e^\{\backslash sigma^2\; \backslash min(t,s)\}-1)$

Insbesondere gilt also $\backslash mathrm\{Var\}(S\_t)=a^2\; e^\{2\backslash mu\; t\}(e^\{\backslash sigma^2\; t\}-1)$.

• Die geometrische Brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d.h. für alle $0\backslash le\; t\_1\; \backslash le\; t\_2\; \backslash ldots\; \backslash le\; t\_n$ sind

$S\_\{t\_1\},\backslash frac\{S\_\{t\_2\}\}\{S\_\{t\_1\}\},\; \backslash ldots\; \backslash frac\{S\_\{t\_n\}\}\{S\_\{t\_\{n-1\}\}\}$ unabhängig.

• Verteilungsfunktion: $\backslash frac\{S\_t\}\{a\}$ ist log-normal verteilt mit Parametern (µ-½σ²)t und σ²t.

Anwendung

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Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische Brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Underlying (z.B. einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.

Geometric Brownian motion

Stochastik