Ganze Zahl

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren negative Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol

\mathbb{Z}

abgekürzt (das „Z“ steht für „Zahlen“). Das alternative Symbol

\mathbf{Z}

ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit.

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Eigenschaften

Ring

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h. sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.

Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form

a + x = b

mit natürlichen Zahlen

a

und

b

stets gelöst werden:

x = b - a

. Beschränkt man

x

auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von $n$ ist $-n$ , das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Anordnung

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge

\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots

d.h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven

\{1, 2, 3, \ldots\}

, nichtnegativen

\{0, 1, 2, 3, ...\}

, negativen

\{\ldots, -2, -1\}

und nichtpositiven

\{\ldots, -2, -1, 0\}

ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d.h.

ist

a < b

und

c \leq d

, dann ist

a + c < b + d

ist

a < b

und

0 < c

, dann ist

ac < bc

Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung $2x = 1$ nicht in $\mathbb{Z}$ lösbar. Der kleinste Körper, der $\mathbb{Z}$ enthält, sind die rationalen Zahlen $\Bbb Q$ .

Euklidischer Ring

Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen, $\mathbb{Z}$ ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb{Z}$ .

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus als Zahlbereichserweiterung konstruieren:

Wir betrachten die Menge $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ aller Paare natürlichen Zahlen, und definieren folgende Äquivalenzrelation:

(a, b) \sim (c, d)

, falls

a + d = c + b

Außerdem definieren wir eine Addition und Multiplikation in dieser Menge:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim$ , die Äquivalenzklasse eines Paares $(a, b)$ schreiben wir als $(a - b)$ , $(0 - b)$ schreiben wir auch als $-b$ .

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf $\mathbb{Z}$ , mit denen $\mathbb{Z}$ zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den man die natürlichen Zahlen so einbetten:

n \longrightarrow (n - 0)

Eine ganze Zahl heißt dann negativ, wenn sie von der Form

(0 - n) = -n

ist mit einer natürlichen Zahl

n > 0

Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon, ob $\mathbb{N}$ die 0 enthält oder nicht.

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