e-kurve.PNG Das Wachstum oder die Abnahme (auch Zerfall oder negatives Wachstum) eines Bestandes wird als exponentiell bezeichnet, wenn sich der Wachstumsvorgang durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich der Bestand pro Zeiteinheit nicht um einen festen Wert ändert (lineares Wachstum), sondern um einen festen Prozentsatz. Der Zuwachs pro Zeiteinheit (Änderungs- oder Wachstumsrate) ist also proportional zum Bestand.

Beispiele für exponentielle Vorgänge sind das Anwachsen von Kapital oder Schulden durch Zins und Zinseszins sowie der radioaktive Zerfall mit einer Halbwertszeit.

Exponentielle Vorgänge lassen sich mathematisch durch folgende Formeln beschreiben:

$N\_t\; =\; N\_0\; \backslash cdot\; e^\{\backslash lambda\; t\}$ (Exponentielles Wachstum)

$N\_t\; =\; N\_0\; \backslash cdot\; e^\{-\; \backslash lambda\; t\}$ (Exponentielle Abnahme)

Dabei ist $N\_0$ der Wert zum Ausgangszeitpunkt ($t=0$), $N\_t$ der Wert zum Zeitpunkt $t$ und $e$ die Eulersche Zahl. Charakteristisch für einen exponentiellen Vorgang ist der Exponent λ>0, der die Wachstumskonstante (Wachstum) beziehungsweise Zerfallskonstante (Abnahme) angibt. Wenn für exponentielle Vorgänge einheitlich die Formel für exponentielles Wachstum verwendet wird, so ist λ bei einer Abnahme negativ; ansonsten sind nur positive Werte möglich. Die Verdoppelungszeit T (Wachstum) beziehungsweise Halbwertszeit (Abnahme) hängt dann folgendermaßen direkt mit der Größe λ zusammen:

$\backslash lambda\; \backslash cdot\; T\; =\; \backslash ln\; (2)$

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Schrittweises exponentielles Wachstum

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Genau genommen lassen sich kontinuierliche und schrittweise exponentielle Vorgänge unterscheiden. Die Berechnung des Zinseszins ist beispielsweise ein schrittweiser exponentieller Vorgang. Deshalb muss eine andere Formel verwendet werden:

$N\_t\; =\; N\_0\; \backslash cdot\; (1+p)^t$ (Wachstum)

Allerdings lässt sich diese Form in einen kontinuierlichen exponentiellen Vorgang überführen, bei dem $\backslash lambda=\backslash ln(1+p)$. Ein Prozentsatz von 5% jährlichen Zinsen entspricht also beispielsweise einer kontinuierlichen Wachstumsrate von etwa 0,0488 (siehe dazu auch Zinssatz).

Weitere Eigenschaften

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Funktionswerte, die im Abstand fester Zeitschritte Δt aufeinander folgen, bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor $q\; =\; e^\{\backslash lambda\; \backslash Delta\; t\}$. Geometrische Folgen stellen eine Möglichkeit dar, exponentielle Vorgänge in elementarer Weise zu beschreiben.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die einfachste gewöhnliche Differentialgeichung

$y\text{'}(t)\; =\; \backslash lambda\; y(t)$

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.

Grenzen des exponentiellen Wachstums

Im Allgemeinen kann sich exponentielles Wachstum eines Bestandes nicht unendlich fortsetzen, weil ihm durch verschiedenartige Einflüsse natürliche Grenzen gesetzt sind. Bei biologischen Wachstumsvorgängen können dies zum Beispiel ein beschränkter Lebensraum oder begrenzte Nahrungsvorräte sein. Das Wachstum verläuft dann nur vorübergehend exponentiell.

Logistisches Wachstum

Bei solchen Prozessen verlangsamt sich das Wachstum, bis eine Sättigung eingetreten ist. Man spricht dann von natürlichem oder logistischem Wachstum.

Beispiele für exponentielle Vorgänge

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Zunahme der Dicke von Folien beim Falten

Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie. Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einer einfachen Schieblehre ausmessen. Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach 5-fachem Falten aus 25=32 Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 450µm haben. Eine Folie ist also ca. 15µm stark. Nach 10-fachem Falten wäre die Lage bereits 14mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 6m. Da sich gleichzeitig auch die Stapelfläche exponentiell verringert, läßt sich einfaches Papier kaum mehr als 10-Mal zusammen schlagen.

Weitere Beispiele

• Radioaktiver Zerfall
• Zinseszins
• Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
• Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5% pro Jahr.
• Auch die Menge der Artikel in Wikipedia Deutschland wuchs anfangs exponentiell. Siehe: Statistik
• Moore's Law
• Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen, um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.

Siehe auch

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• Zerfallsgesetz, Halbwertszeit,
• NP und Polynomialzeit,
• Exponentialfunktion, logistische Funktion, Logistische Gleichung,
• Bibliometrie, Informetrie,
• Potenzgesetz (power law)

Analysis

Exponential