Euklidischer Ring ist ein Fachbegriff aus der Mathematik und bezeichnet Strukturen, in denen eine (verallgemeinerte) Division mit Rest vorhanden ist, wie man sie von den ganzen Zahlen kennt.

Definitionen

Ein Integritätsring $R$ (also ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1) heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion $g:R\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}\backslash to\; \backslash mathbb\{N\}$ existiert, so dass es für Elemente $x,y\; \backslash in\; R$ mit $y\; \backslash neq\; 0$ Elemente $q,r\; \backslash in\; R$ gibt mit $x\; =\; qy\; +\; r$, wobei entweder $r=0$ oder ist. Die Abbildung $g$ heißt dabei euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag).

Vereinfacht gesagt ermöglicht ein euklidischer Ring also eine Division mit Rest und dadurch einen euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.

Die obenstehende Definition ist äquivalent zu der folgenden, die ebenfalls häufig verwendet wird:

Definition 2:
Ein Integritätsbereich $R$ heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion $g:R\backslash to\backslash mathbb\{N\}$ existiert, so dass $g(0)=0$ gilt und für alle $y\; \backslash in\; R\backslash backslash\; \backslash \{0\backslash \}$, $x\; \backslash in\; R$ Elemente $q,r\backslash in\; R$ existieren, so dass $x=qy+r$ gilt und

Eigenschaften

• Assoziierte Elemente werden identisch bewertet, insbesondere sind die Einheiten die minimal bewerteten Elemente des Rings.

• Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale euklidische Norm besitzt; weiter existiert ein Algorithmus zur iterativen Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem euklidischen Ring. Das Finden einer geschlossenen Form für den minimalen euklidischen Betrag ist jedoch im allgemeinen sehr aufwändig.

• Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, denn wenn a ein minimal bewertetes Element eines Ideals I ist, so ist I = (a), also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.

• Man kann bei der Definition darauf verzichten, die Existenz der 1 im Ring $R$ zu fordern. Diese ergibt sich aus den übrigen Eigenschaften.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Der Ring $\backslash mathbb\{Z\}$ der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist $g:\backslash mathbb\{Z\}\backslash to\backslash mathbb\{N\}$, $x\; \backslash mapsto\; |x|$. Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.

• Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring mit dem euklidischen Betrag $a\backslash mapsto\; \backslash delta\_\{0,a\}$, wobei $\backslash delta$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Dieser Betrag ist trivialerweise auch minimal.

• Der Polynomring $K*$ über einem Körper K in einer Variablen X ist ein euklidischer Ring, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.

• Der Ring erklärt durch $(a+bi)\backslash mapsto\; a^\{2\}+b^\{2\}$ ist ein euklidischer Ring.

• Dagegen ist z.B. der Polynomring $\backslash mathbb\{Z\}*$ kein euklidischer Ring, da das Ideal $(X,2)$ kein Hauptideal ist.

• Auch der Ring $\backslash mathbb\{Z\}*$ ist nicht euklidisch, da $2+2\backslash sqrt\{-3\}$ und 4 keinen ggT haben (zwei "maximale gemeinsame Teiler" sind $1+\backslash sqrt\{-3\}$ und 2, die aber teilerfremd sind).

Kommutative Algebra

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