Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung) ist in der Mathematik eine spezielle Art der Verknüpfung, die sich dadurch auszeichnet, dass sie genau zwei Operanden besitzt. Bekannte Beispiele sind die Grundrechenarten wie Addition und Division.

Definition

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Eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge S ist eine Abbildung des kartesischen Produkts S × S in die Menge S. Die Menge selbst zusammen mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung wird auch Magma genannt.

Zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Gruppen, Ringen und anderen Strukturen.

Viele binäre Verknüpfungen, die man betrachtet, sind kommutativ oder assoziativ. Viele haben auch ein neutrales Element und inverse Elemente. Typische Beispiele binärer Verknüpfungen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen und Matrizen, sowie die Komposition von Funktionen.

Schreibweisen

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Binäre Verknüpfungen schreibt man oft in Infix-Notation, wie bei a + b, a · b, anstelle einer Funktionsnotation wie +(a, b). Multiplikationen werden oft ganz ohne Symbol geschrieben: ab = a · b.

Man kann sie aber auch in Präfix- oder Postfix-Notation angeben. Eine Präfixnotation ist z. B. die gewöhnliche Funktionsschreibweise f(a, b). Die bekannteste Postfixnotation ist die Umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt.

Beispiele

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• Durch $(x,y)\; \backslash mapsto\; x+y$ ist eine innere Verknüpfung auf der Menge $\backslash R$ gegeben, da die Addition zweier reeller Zahlen stets eine reelle Zahl ergibt.

• Für eine gegebene Menge $M$ ist die Durchschnittsbildung eine innere Verknüpfung auf der Potenzmenge $\backslash mathcal\; P(M)$:

$(X,Y)\; \backslash mapsto\; X\; \backslash cap\; Y$

Äußere binäre Verknüpfung

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Eine zweistellige Funktion von K × S nach S nennt man eine äußere zweistellige Verknüpfung. Sie unterscheidet sich von einer zweistelligen Verknüpfung im engeren Sinne dadurch, dass K keine Teilmenge von S sein muss, dass also der erste Operand von außerhalb kommt.

Ein Beispiel dafür ist die skalare Multiplikation in der linearen Algebra. Hier ist K ein Körper und S ein Vektorraum über diesem Körper.

Eine äußere binäre Verknüpfung kann man oft auch als Operation auffassen, K operiert dann auf S.

Äußere (zweistellige) Verknüpfungen erster Art

Abbildungen des Typs $A\; \backslash times\; B\; \backslash to\; A$ nennt man äußere Verknüpfungen erster Art. Die Menge $B$ wird hierbei als Operatorenbereich bezeichnet.

Beispiel:

• Die Multiplikation eines Vektors aus $\backslash mathbb\{R\}^n$ mit einem Skalar aus $\backslash mathbb\{R\}$ ist eine äußere Verknüpfung auf $\backslash mathbb\{R\}^n$ mit Operatorenbereich $\backslash mathbb\{R\}$.

Äußere (zweistellige) Verknüpfungen zweiter Art

Äußere Verknüpfungen zweiter Art sind Abbildungen des Typs $A\; \backslash times\; A\; \backslash to\; B$.

Beispiel:

• Das Skalarprodukt in $\backslash mathbb\{R\}^n$ ordnet je zwei Vektoren aus $\backslash mathbb\{R\}^n$ eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere Verknüpfung zweiter Art.

• Ist $A$ ein affiner Raum, der auf einem Vektorraum $V$ modelliert ist, so ist

$A\backslash times\; A\backslash to\; V,\backslash quad\; (P,Q)\backslash mapsto\backslash overrightarrow\{PQ\}$

eine äußere Verknüpfung zweiter Art.

(Allgemeine zweistellige) Verknüpfungen

Allgemeine zweistellige Verknüpfungen sind Abbildungen des Typs $A\; \backslash times\; B\; \backslash to\; C$.

Beispiel:

Die Komposition von Abbildungen, die einer Abbildung $f:X\backslash to\; Y$, und einer Abbildung $g:Y\backslash to\; Z$ ihre Hintereinanderausführung $g\; \backslash circ\; f:X\; \backslash to\; Z$ zuordnet. Dabei können die Mengen X, Y, und Z beliebig gewählt werden.

Algebra

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