Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte zuordnet. Diese Werte werden als Realisationen der Zufallsvariable bezeichnet.

Betrachtet man ein Zufallsexperiment Münzwurf, so kann man beispielsweise eine Zufallsvariable $X$ definieren, indem man dem Ergebnis $\backslash omega\; =$„die Münze zeigt Kopf“ den Wert 0 und dem Ergebnis $\backslash omega\; =$„die Münze zeigt Zahl“ den Wert 1 als Realisation zuordnet.

Die Zufallsvariable selbst wird üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier $X$), während man für die Realisationen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (hier beispielsweise $x\; =\; 1$).

Während früher der Begriff Zufallsgröße (manchmal auch Zufallsveränderliche) der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt. Zufallsvariablen sind jedoch Funktionen und dürfen nicht mit den Variablen verwechselt werden, die üblicherweise in der Mathematik eingesetzt werden.

Definition

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Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lautet wie folgt:

Es seien $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\backslash Omega\text{'},\backslash Sigma\text{'})$ ein Messraum. Eine $(\backslash Sigma,\backslash Sigma\text{'})$-messbare Funktion $X:\backslash Omega\backslash to\backslash Omega\text{'}$ heißt dann eine $\backslash Omega\text{'}$-Zufallsvariable auf $\backslash Omega$.

In dieser Sprachregelung verständigt man sich darauf, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf $\backslash Omega$ und welcher Messraum auf $\backslash Omega\text{'}$ gemeint ist.

Einige Spezialfälle der Zufallsvariable besitzen eine eigene Bezeichnung. Sie werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die nicht explizit auf die Maßtheorie eingehen:

Reelle Zufallsvariable

Bei der reellen Zufallsvariable ist der Bildraum die Menge $\backslash R$ der reellen Zahlen versehen mit der Borelschen σ-Algebra. Da es hierfür vereinfachte Bedingungen zum Nachweis der Messbarkeit von X gibt, kann man auch folgende einfachere Definition geben:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion $X\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash R$, die jedem Ergebnis $\backslash omega$ einer Ergebnismenge $\backslash Omega$ eine reelle Zahl $X(\backslash omega)$ zuordnet, und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

$\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash R:\backslash \; \backslash lbrace\; \backslash omega|X(\backslash omega)\; \backslash leq\; x\; \backslash rbrace\; \backslash in\; \backslash Sigma$

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisation unterhalb eines bestimmen Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Bei der mehrdimensionalen Zufallsvariable (auch als n-dimensionaler Zufallsvektor bezeichnet) ist der Bildraum die Menge $\backslash R^n$ versehen mit der Borelschen σ-Algebra.

Komplexe Zufallsvariable

Bei der komplexen Zufallsvariable ist der Bildraum die Menge $\backslash Bbb\; C$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen $\backslash Bbb\; C$ und $\backslash R^2$ „geerbten“ Borelschen σ-Algebra. Die Messbarkeit von $X$ ist genau dann erfüllt, wenn Realteil $\backslash operatorname\{Re\}(X)$ und Imaginärteil $\backslash operatorname\{Im\}(X)$ als reelle Zufallsvariablen messbar sind.

Mathematische Attribute für Zufallsvariablen

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Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die Häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

diskret: Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Beispiel: Würfelspiel.

konstant: Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: X(ω)=c für alle ω. Sie ist ein Spezialfall der diskreten Zufallsvariable.

stetig oder kontinuierlich: Das Attribut stetig wird für mehrere unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

• Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie selbst als Funktion stetig ist.

• Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).
• Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.

unabhängig: Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn ihre Ereignisräume stochastisch unabhängig sind.

standardisiert: Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable $Y$ in eine standardisierte Zufallsvariable $X$ $X=\backslash frac\{Y-\backslash operatorname\{E\}(Y)\}\{\backslash sqrt\{\backslash operatorname\{Var\}(Y)\}\}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable $Y$.

Kenngrößen

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Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentlichen mathematischen Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt; Beispielsweise die Wahrscheinlichkeit höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen, wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

Funktionen von Zufallsvariablen

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Wenn eine reelle Zufallsvariable $X$ auf dem Ergebnisraum $\backslash Omega$ und eine messbare Funktion $f:\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$ gegeben ist, dann ist auch $Y\; =\; f(X)$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; P)$ nach $(\backslash R,\; dF\_X)$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von $Y$ zu erhalten.

Die kumulierte Verteilungsfunktion von $Y$ lautet

.

Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $Y$ erhält man im diskreten Fall:

$\backslash operatorname\{E\}(Y)\; =\; \backslash operatorname\{E\}*=\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{\backslash infty\}g(x\_\{i\})\; P(X=x\_\{i\})$

und im stetigen Fall:

$\backslash operatorname\{E\}(Y)\; =\; \backslash operatorname\{E\}*=\; \backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}g(x)f\_\{X\}(x)\backslash operatorname\{d\}x$.

Beispiel

Es sei $X$ eine reelle Zufallsvariable und $Y\; =\; X^2$.

Dann ist

.

Fallunterscheidung nach $y$:

:

{|

|$\backslash operatorname\{P\}(X^2\; \backslash leq\; y)$ |$=\; 0$ |- |$\backslash Rightarrow\; F\_Y(y)$ |$=\; 0$ |}

$y\; \backslash geq\; 0$:

{|

| | |- |$\backslash Rightarrow\; F\_Y(y)$ |$=\; F\_X(\backslash sqrt\{y\})\; -\; F\_X(-\backslash sqrt\{y\})$ |}

Weiterführendes

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Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als Stochastischer Prozess aufgefasst werden.

Ein Folge von Realisationen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz.

Literatur

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• Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980, ISBN 3540073094
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3525031149

Weblinks

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• Ralf Hoppe: Zufallsgrößen und -prozesse. 2005

Stochastik

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