Zufall

Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.

Als zufällig gelten Ereignisse wie eine Augenzahl beim Würfeln oder das Ergebnis eines Münzwurfs, jedenfalls wenn eine Manipulation ausgeschlossen wurde.

Eine systematische Untersuchung des Phänomen Zufall geschieht

in der Philosophie (Was ist Zufall?)
in der Mathematik (Wie lässt sich Zufall quantitativ fassen (Stochastik)? Wie lässt sich Zufall künstlich erzeugen (Zufallszahl und Pseudozufallszahl)?)
in der Physik (Welche Prozesse sind zufällig, welche determiniert?)
in der Psychologie (Warum haben Menschen Erwartungen (und welche) über das, was geschehen wird?)
in der Soziologie (Wie entwickelt sich die Gesellschaft? Gibt es sozio-historische Gesetze? (siehe auch Geschichtsphilosophie))

Was ist Zufall?

Eine Anmerkung zur Vorsicht: Schon die umgangssprachliche Formulierung wie „etwas zufällig Geschehenes hatte keine bekannte Ursache“ impliziert eine Denkweise, denn man nimmt an, dass alles eine Ursache haben müsse. Daher wird das Wesen des Zufalls am besten im Zusammenhang mit Überlegungen zur Kausalität beleuchtet.

Zufall könnte man allerdings auch anders definieren: Zufall ist dann vorhanden, wenn nur aufgrund der Anfangsbedingungen keine Aussage darüber zu machen ist, was geschieht, bzw. wenn bei exakt gleichen Ausgangsbedingungen nicht immer das gleiche passiert. In der Realität lassen sich allerdings keine solchen Versuche durchführen, denn es ist unmöglich, die exakt gleichen Voraussetzungen wieder zu rekonstruieren (denn das würde eigentlich auch die Zeit implizieren...). Deshalb ist die Frage, ob Zufall existiert, eher eine philosophische als eine physikalische Frage.

Zufallsprozesse in der Welt

Die Naturwissenschaften versuchen herauszufinden, ob unsere Welt im innersten deterministisch oder zufällig ist. Man will wissen, ob ein Ereignis zufällig ist, weil der Beobachter nicht genügend Daten hatte, um eine exakte Vorhersage zu machen, oder ob das beobachtete System in sich zufällig ist. Beide Arten von Systemen lassen sich mathematisch modellieren.

Die erste Art von Systemen sind solche, in denen angenommen wird, dass das Ergebnis eines Experiments bei festen Bedingungen immer gleich sein muss, und dass die auftretenden Variationen des Ergebnisses auftreten, weil der Beobachter das System nicht genau genug kontrolliert hat. Solche Systeme werden als deterministisch angesehen.

Es ist heute bekannt, dass (theoretisch exakt) deterministische Systeme dennoch unvorhersagbares Verhalten zeigen können. Solche Systeme werden als deterministisch chaotische Systeme bezeichnet und in der Chaostheorie untersucht.

Die Quantenphysik hat eine neue Diskussion darüber ausgelöst, ob die Welt fundamental deterministischen oder fundamental zufälligen Prinzipien gehorcht. Die vorherrschende Interpretation der Quantentheorie sagt, dass identische Experimente unterschiedliche Ergebnisse haben können. Das beste Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall. Es ist keine Möglichkeit bekannt, den Zerfallszeitpunkt eines instabilen Atomkernes vorherzusagen. Über eine große Anzahl von Atomkernen dagegen lassen sich statistische Vorhersagen treffen.

Es gibt Wissenschaftler, die Alternativen (etwa Quantentheorien mit verborgenen Variablen) vorschlagen, um eine deterministische Welt zu beschreiben.

Daneben gibt es die Möglichkeit, aus mikroskopischen Theorien, die zufällig erscheinen, makroskopische Theorien aufzubauen, die (quasi)deterministisch sind.

Zufall quantitativ

In der formalen Welt der Mathematik lassen sich abstrakte Strukturen definieren, die aus der menschlichen Vorstellung beziehungsweise Erwartung von Zufall motiviert sind. Glücksspiele motivierten die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien und werden auch heute noch oft zu ihrer Illustration eingesetzt.

Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des Zufalls:

(Zufalls)experiment: Die durchgeführten und/oder beobachteten Vorgänge (beispielsweise zweimaliges Werfen eines Würfels).
Ergebnis oder Elementar-Ereignis: Beobachtung (beispielsweise erster Wurf '3', zweiter Wurf '5').
Ereignisraum: Aus Elementarereignissen zusammengesetzte Menge (das Ereignis „gerade Zahl gewürfelt“ ist aus den Elementarereignissen „2,4 oder 6 gewürfelt“ zusammengesetzt).
Wahrscheinlichkeit: Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet (beispielsweise Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich 1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Offensichtlich sind nur solche Zufallsexperimente interessant, die mehr als ein mögliches Ergebnis haben.

Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.

Beispiel eines Zufallsexperimentes

Die Stufen eines Zufallsexperiments sind

Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es ist aber noch nichts entschieden.
Das Zufallsexperiment wird durchgeführt.
Nur eines von mehreren möglichen Ergebnissen tritt ein.

Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Man kann mit einer Münze diese Art von Zufallsexperiment durchführen und selber Zufallszahlen erzeugen. Dabei ordnet man der einen Seite der Münze die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu. Durch Notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0 und 1. Eine solche Folge ist das Ergebnis eines sehr einfachen Zufallsprozesses.

Die so erhaltenen Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar. Dabei kann man Eigenschaften dieser Zufallsfolgen feststellen, die bei nicht-zufälligen Folgen (also Folgen, die deterministisch nach irgendeinem Gesetz ermittelt werden) nicht auftreten. Auf diese Weise kann man Zahlenfolgen auf echte Zufälligkeit prüfen.

Auffällige statistische Abweichungen von reinen Zufallsfolgen können zum Beispiel verwendet werden, um wissenschaftliche Fälschungen zu enttarnen, da Messungen stets auch einen zufälligen Messfehler beinhalten, während erfundene Zufallsfehler oft gerade durch den Versuch, sie möglichst zufällig erscheinen zu lassen, deutliche Abweichungen vom Zufallsergebnis enthalten.

Je länger eine Zahlenfolge ist, desto klarer kann unterschieden werden, ob es sich um eine zufällige oder nicht zufällige Folge handelt (Gesetz der großen Zahlen). Theoretisch kann auch ein Zufallsexperiment eine Folge von hundert Nullen hintereinander liefern, nur ist das so unwahrscheinlich, dass man in diesem Fall mit gutem Recht von einer Regelmäßigkeit ausgehen darf. Auf der anderen Seite gibt es deterministische Algorithmen, deren Ergebnisse sehr ähnlich denen eines Zufallsexperiments sind, so genannte Pseudozufallsgeneratoren. Bei guten Pseudozufallsgeneratoren braucht man eine sehr lange Zahlenreihe, um den Unterschied zum echten Zufall erkennen zu können. In der Informatik werden gelegentlich Zufallszahlen benötigt. Der Versuch, sie mit dem Computer zu berechnen, ist ein Widerspruch in sich.

Eine Folge, die die Realität abbildet, ist nicht immer rein deterministisch oder rein zufällig, sondern es liegt häufig eine Mischung aus beidem vor. Ein einfaches Beispiel wäre, wenn man beispielsweise stets eine Ziffer per Münzwurf bestimmt, die nächste als den Unterschied zwischen den beiden vorhergehenden Ziffern, dann wieder Münzwurf, und so fort. Durch Untersuchung solcher Folgen bekommt man ein recht gutes Verständnis für den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.

Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und Ungleichheit:

Die zwei möglichen Varianten müssen mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten
Trotzdem müssen sie ungleich, nämlich unterscheidbar sein.

Münze: beide Seiten müssen mit der selben Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide Seiten verschieden geprägt sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.

Ein Beispiel dafür sind auch die Random in Wikipedia.

Zufall und Gerechtigkeit

Zufallsverteilung-aufgabes.jpg | Zufallsverteilung-solls.jpg

Ein Beispiel:
Wir möchten 11 Münzen auf 10 Schweinchen verteilen. Wie stellen wir es an?

1) Wir geben fast jedem eine Münze. Aber warum bekommt ein Schweinchen zwei?
Zufallsverteilung-ists.jpg 2) Würfeln wir und lassen den Zufall entscheiden, ist folgende Verteilung die wahrscheinlichste (siehe z.B. Exponentialfunktion#Stochastik):

Ein Schweinchen (10%) bekommt sehr viel (drei Münzen),
zwei (20%) bekommen viel (zwei Münzen),
vier (40%) bekommen etwas (eine Münze).
Drei (30%!) gehen leer aus.

Zufall und freier Wille

Zwischen den Begriffen Zufall und freier Wille existiert ein enger Zusammenhang. Man kann argumentieren, dass eine freie Entscheidung eine Entscheidung ist, die zumindest teilweise nicht von anderen Einflüssen (innerer und äußerer Art) bestimmt wird. Sie ist also nicht determiniert. Dies kann aber gerade auch als Definition von Zufall angesehen werden. Nach dieser Auffassung kann es in einem Universum ohne Zufall keinen freien Willen geben, da jede Entscheidung bei Kenntnis aller Einflussgrößen vorhergesagt werden könnte. Aber wenn unsere Entscheidungen zufällig zustande kommen, ist das erst recht nicht, was wir uns unter freiem Willen vorstellen.

Es ist nun eine Aufgabe der Philosophie, Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Begriffe genauer herauszuarbeiten. Der englische Begriff random number (wörtlich: freie Zahl) für Zufallszahl weist auf diesen Zusammenhang hin.

Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall

Ein elementarer Zufallsprozess ist der Münzwurf, denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen 2 Alternativen. Man beachte, dass es für den Münzwurf irrelevant ist, ob das Ergebnis prinzipiell unberechenbar ist oder bei genauer Kenntnis der Rahmenbedingungen vorausgesagt werden kann. Solange alle Beteiligten gleich wenig über das Ergebnis wissen, wird der Münzwurf als fair empfunden.
- Ein elementarer Zufallsprozess hat 2 Alternativen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5.
Eine beispielsweise durch Münzwurf erzeugte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt sich ohne Verlust kaum komprimieren.
Je mehr Ordnung und Regelmäßigkeit man in einem System erkennt, desto weniger Zufall verbleibt darin.
Es ist kein Verfahren bekannt, wie man „echten“ Zufall (was immer das sein soll) von jenen Ereignissen unterscheiden kann, die scheinbar zufällig sind, tatsächlich aber einem unbekannten deterministischen Gesetz gehorchen. Erst wenn man dieses deterministische Gesetz findet, kann man „echten“ Zufall ausschließen.
Zufall heißt nicht, dass alles möglich ist. Ein zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben. Falls die Münze auf der Kante liegen bleibt, wirft man sie eben nochmals...
Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0 sind durchaus möglich. Ein Beispiel hierfür ist das Auswählen irgendeiner Zahl zwischen 3 und 4 mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte, also gleicher Wahrscheinlichkeit für jede Zahl im Intervall der reellen Zahlen. Da es im Intervall [3,4 überabzählbar unendlich viele Zahlen gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Zahl, beispielsweise Pi, gleich Null (Mathematiker nennen dies Lebesgue-Nullmenge), aber trotzdem ist Pi sehr wohl möglich.
Manche meinen, wenn Zukunft völlig festgelegt und vorherbestimmt ist (deterministische Weltanschauung), dann gibt es keinen Zufall. Andere meinen, die Nachkommastellen der Zahl Pi 3,14159... seien völlig zufällig. Offensichtlich wird hier das Wort „Zufall“ in widersprüchlichen Bedeutungen verwendet.
Die Mischung aus zufälligen und nichtzufälligen Ereignissen wird der Realität am besten gerecht. Die Frage ist lediglich, in welchem Verhältnis zu mischen ist.
- Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig ist. Manchmal ist der Zufall eine zu bequeme Erklärungsvariante.
- Das menschliche Gehirn neigt andererseits dazu, auch in rein zufällige Geschehnisse Gesetzmäßigkeiten hinein zu interpretieren, da das kausale Denken insgesamt sich sehr erfolgreich erwiesen hat. Interessant ist in diesem Zusammenhang das Experiment von Wright an der Universität Stanford mit dem „vielarmigen Banditen“, siehe z. B. Paul Watzlawick, Wie wirklich ist die Wirklichkeit?
Die rein statistische Berechnung der informationstheoretischen Entropie ist kein geeignetes Maß, um die Menge an Zufall in einer Zahlenfolge zu messen.
Hat der Zufall ein Gedächtnis?
- Das Zufallsexperiment des einmaligen Wurfs eines Würfels hat kein Gedächtnis. Das Zufallsexperiment der einmaligen eingeworfenen Roulettekugel auch nicht. Fällt die Kugel z. B. auf 5, so ändert das im idealen Roulettespiel nichts an den Chancen, dass das nächste Mal wieder die 5 kommt
  - Im realen Roulettespiel sind wegen mechanischer Unregelmäßigkeiten die Chancen vorhanden, dass eine Ungleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen herrscht. Roulette hat also ein Gedächtnis in dem Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine der häufig gefallenen Zahlen wieder kommt, höher als oder zumindest gleich hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine der bisher selten gefallenen Zahlen kommt. Im realen Roulette müssen die Zylinder daher häufig getauscht werden, damit niemand diese Ungleichverteilung ausnutzen kann.
- Kartenspiele haben üblicherweise ein Gedächtnis: die gezogene Karte kommt meist entsprechend der Regeln nicht zurück ins Spiel. Wird eine hohe Karte gezogen, so sinken die Chancen, dass das nächste Mal wieder eine hohe Karte gezogen wird. Daraus können Gewinnstrategien für das betreffende Spiel entsprechend der Regeln abgeleitet werden.
Zufallsereignisse widersprechen nicht dem Gesetz von Ursache und Wirkung

Siehe dazu Widerspricht ein Zufallsereignis dem Kausalitätsprinzip ?

Zufallsgeneratoren

Solche können zum Beispiel sein: Münze, Würfel, Roulette, Urne, Russisch Roulette oder Reißnagel

Spiele mit dem Zufall? - Beispiel: Stichomantie

Literatur

Klein, Stefan: Alles Zufall. Die Kraft, die unser Leben bestimmt. 2004. ISBN 3-498-03519-3,
Lew W. Tarassow: Wie der Zufall will? Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit. Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg 1998. ISBN 3827404746
Gerd Gigerenzer, Zeno Swijtink, Theodore Porter u. a.: Das Reich des Zufalls: Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und Unschärfen. Spektrum Akademischer Verlag 1999. ISBN 3-8274-0101-1 (Buch über die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung)
Manfred Eigen und Ruthild Winkler: Das Spiel. Naturgesetze steuern den Zufall. Piper. ISBN 3-492-20410-4
Sven P. Thoms: Ursprung des Lebens. Frankfurt: Fischer 2005, ISBN 3-5961-6128-2
Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker. Zufall oder Wahrscheinlichkeit. ISBN 3486247506
Allan Combs/Mark Holland: Die Magie des Zufalls. ISBN 3499191776
Elisabeth Mardorf: Das kann doch kein Zufall sein. Verblüffende Ereignisse und geheimnisvolle Fügungen in unserem Leben.^* Kösel Verlag. ISBN 3-466-34380-1
Deborah J. Bennett: Randomness. Harvard University Press, 1999. ISBN: 0674107462
Patrick Suppes: Probabilistic Metaphysics. Basil Blackwell, 1984. ISBN: 0631133321

Klassische Werke zum Thema Zufall

Aristoteles: Physika
Heinrich Emil Timerding: Die Analyse des Zufalls
Jakob Bernoulli: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ars conjectandi. Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 107. ISBN 3-8171-3107-0
Pierre Simon Laplace: Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit. Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 233. ISBN 3-8171-3233-6

Siehe auch

Weblinks

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