Der Zinseszins ist ein Begriff aus dem Geldwesen. Er drückt aus, dass Zinsen, die aufgrund einer verzinslichen Kapitalanlage bei einem Kreditinstitut am Ende eines bestimmten Zeitraums gutgeschrieben werden, ab Beginn des darauffolgenden Zeitraums die Einlage erhöhen und somit dann selbst verzinst werden.

Das Verlangen nach Zinseszins wird als Anatozismus bezeichnet. Mit der Berechnung des Zinseszinses in Abhängigkeit vom Zinssatz sowie der Höhe und Dauer einer Kapitalanlage beschäftigt sich die Zinseszinsrechnung, ein Teilgebiet der Finanzmathematik.

Zinseszinsrechnung

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Die Zinseszinsrechnung beantwortet die Frage, auf welches Endkapital $K\_n$ ein anfängliches Kapital $K\_0$ nach insgesamt $n$ gleich langen Zeiträumen angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit dem festen Zinssatz von $p$ Prozent verzinseszinst wird.

Die Zinseszinsformel stellt sich wie folgt dar:

$K\_n\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)^n$

mit $K\_n$ = Endkapital; $K\_0$ = Anfangskapital; $p$ = Zinssatz; $n$ = Anzahl der Jahre

Die Formel leitet sich aus folgendem Zusammenhang her: Ein Sparer tätigt eine einmalige Kapitalanlage auf einem Konto eines Kreditinstituts in Höhe eines anfänglichen Kapitals. Dieses Kapital wird während einer bestimmten Anlagedauer mit Zinseszins verzinst. Die Anlagedauer bestehe aus mehreren gleich langen Zeiträumen, die mit Hilfe der Natürlichen Zahlen fortlaufend durchgezählt werden. Man sagt auch, die Zeiträume werden mit dem Index $i$ fortlaufend von $i\; =\; 1$ bis $i\; =\; n$ durchnummeriert. Damit kann man die Anlagedauer als Summe aller $n$ Zeiträume formulieren :

$Anlagedauer\backslash \; =\backslash \; Zeitraum\_1\backslash ;+\backslash ;Zeitraum\_2\backslash ;+\backslash \; .\backslash ;.\backslash ;.\backslash \; +\backslash ;Zeitraum\_i\backslash ;+\backslash \; .\backslash ;.\backslash ;.\backslash \; +\backslash ;Zeitraum\_\{(n-1)\}\backslash ;+\backslash ;Zeitraum\_n$

Zu Beginn des ersten Zeitraums ($i\; =\; 1$) liegt auf dem Konto des Sparers das anfängliche Kapital, das durch den Buchstaben $K$ mit angehängtem Indexwert $i\; =\; 0$ dargestellt wird :

$Anfangskapital\backslash \; zu\backslash ;Beginn\backslash ;von\backslash \; Zeitraum\_1\backslash \; :\backslash \; \backslash \; K\_0$

Wichtig sind die beiden verwendeten Indexwerte. Der erste Zeitraum erhält den Indexwert $i\; =\; 1$, während das Anfangskapital mit $i\; =\; 0$ nummeriert wird.

Der Sparer hat sich entschieden, für die Anlagedauer nicht auf sein Kapital zuzugreifen. Dafür "belohnt" ihn das Kreditinstitut mit einer Gutschrift von Zinsen. Übliche Praxis ist nun, dass wiederholt jeweils am Ende von jedem der $n$ Zeiträume innerhalb der Anlagedauer jeweils Zinsen gutgeschrieben werden.

Es wird also z. B. für den ersten Zeitraum der Zinswert $Z\_1$ vergütet :

$Zinswert\backslash \; f\backslash ddot\; ur\backslash ;den\backslash \; Zeitraum\_1\backslash \; :\backslash \; \backslash \; Z\_1$

Die konkrete Höhe des Zinswertes $Z\_1$ im ersten Zeitraum bestimmt sich wie folgt: Das Kreditinstitut drückt die "Belohnung" des Sparers für die Überlassung des Kapitals in prozentualer Form aus, also z.B. "sechs Prozent" (6% = 6/100). Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird Zinssatz $p$ genannt. Der am Ende des ersten Zeitraums gutgeschriebene Zinswert $Z\_1$ verhält sich zum anfänglichen Kapitalwert $K\_0$ genau so, wie sich der Zinssatz $p$ zum Wert 100 verhält. Dieser Zusammenhang stellt eine Verhältnisgleichung dar.

$\backslash frac\{Zinswert\backslash ;f\backslash ddot\; ur\backslash ;Zeitraum\_1\}\{Kapitalwert\backslash ;zu\backslash ;Beginn\backslash ;von\backslash ;Zeitraum\_1\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{Zinssatz\backslash ;f\backslash ddot\; ur\backslash ;Zeitraum\_1\}\{100\}\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash Leftrightarrow\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash frac\{Z\_1\}\{K\_0\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{p\}\{100\}$ .

Diese Verhältnisgleichung erscheint viel theoretischer als das, was sie im praktischen Einsatz tatsächlich leistet. Sie besagt ganz einfach, dass ein z. B. mit sechs Prozent verzinstes Anfangskapital von 1.000 Euro im ersten Zeitraum einen Zinswert von genau 60 Euro "erwirtschaften" muss, damit die geforderten Verhältnisse stimmen:

$\backslash frac\{Z\_1\}\{K\_0\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{60\}\{1000\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{6\}\{100\}$ .

Diese Festlegung für das Verhältnis zwischen Zinswert und Kapitalwert im ersten Zeitraum lässt sich so verallgemeinern, dass für jedes Verhältnis von Zinswert $Z\_\{i\}$ zu Kapitalwert $K\_\{(i-1)\}$ in jedem $i$-ten Zeitraum die Verhältnisgleichung gilt:

$\backslash frac\{Z\_i\}\{K\_\{(i-1)\}\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{p\}\{100\}$. Nach Umstellung erhält man für den Zinswert $Z\_i$ die Formel

$Z\_i\backslash \; =\backslash \; K\_\{(i-1)\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{p\}\{100\}$.

Für positive Zinssätze $p\backslash ;>\backslash ;0$ gilt stets

$1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash \; >\backslash \; 1$,

weshalb dieser Term Aufzinsungsfaktor genannt wird. Bis hierhin wird deutlich, was mit "Verzinsung für einen Zeitraum" gemeint ist.

Zur Betrachtung des Zinseszinses muss erneut berücksichtigt werden, dass der Sparer für das "zur Verfügung stellen" des anfänglichen Kapitals $K\_0$ nach Maßgabe der obigen Zinswert-Formel "belohnt" wird. Seinem Konto wird am Ende des ersten Zeitraums also folgender Zinswert $Z\_1$ gutgeschrieben :

$Z\_1\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{p\}\{100\}$.

Somit wächst das anfängliche Kapital $K\_0$ bis zum Ende des ersten Zeitraums genau um diesen Zinswert $Z\_1$. Beide zusammen bilden also den neuen Kontostand. Diese Summe nennt man auch das (vorläufige) Endkapital $K\_1$, das folgerichtig mit dem Indexwert $i\; =\; 1$ versehen wird:

$K\_1\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ;+\backslash ;Z\_1\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ;+\backslash ;K\_0\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)$.

Dieses (vorläufige) Endkapital $K\_1$ ist nun zugleich das Anfangskapital für den zweiten Zeitraum ($i\; =\; 2$). Es "erwirtschaftet" darin den Zinswert $Z\_2$, der erneut hinzuaddiert wird:

$K\_2\backslash \; =\backslash \; K\_1\backslash ;+\backslash ;Z\_2\backslash \; =\backslash \; K\_1\backslash ;+\backslash ;K\_1\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash \; =\backslash \; K\_1\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)^2$.

Damit wirkt bereits während des zweiten Zeitraums der Zinseszins-Effekt: Das Anfangskapital $K\_0$ im ersten Zeitraum wächst mit dem Aufzinsungsfaktor 1 + p/100 auf das (vorläufige) Endkapital $K\_1$. Auf die gleiche Weise steigt das Kapital $K\_1$ im zweiten Zeitraum mit demselben Aufzinsungsfaktor auf das (vorläufige) Endkapital $K\_2$. Über beide Zeiträume hinweg betrachtet ist das anfängliche Kapital $K\_0$ jedoch überproportional, nämlich mit dem Quadrat des Aufzinsungsfaktors, auf das (vorläufige) Endkapital $K\_2$ angewachsen.

Verallgemeinert bedeutet dies, dass sich am Ende der Anlagedauer, also nach insgesamt $n$ Zinszeiträumen, schließlich das Endkapital $K\_n$ durch $n$-maliges Multiplizieren des Anfangskapitals $K\_0$ mit dem Aufzinsungsfaktor

$K\_n\backslash \; =\backslash \; K\_0\backslash ,\backslash left(1+\backslash frac\{p\}\{100\}\backslash right)^n$

ergibt.

Beispiel

Ein Betrag von 1.000 Euro wird zehn Jahre lang zu einem jährlichen Zinssatz von fünf Prozent fest angelegt. Am Ende des ersten Jahres beträgt der Zins 1.000€ * 0,05 = 50€. Für das zweite Jahr beträgt der Zins (1.000€ + 50€) * 0,05 = 50€ + 2,50€. Der Zinseszins-Effekt erwirtschaftet also einen Mehrertrag von 2,50 Euro im Vergleich zu einer Verzinsung ohne Zinseszins. Nach 10 Jahren ist das Anfangskapital durch Zinseszins angewachsen auf das Endkapital

$K\_\{10\}\backslash \; =\backslash \; 1000\backslash ,Euro\backslash ;\backslash cdot\backslash ;(1\backslash ,+\backslash ,0,05)^\{10\}\backslash \; =\backslash \; 1628,89\backslash ,Euro$ .

Recht

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Im deutschen Zivilrecht ordnet § 248 Abs. 1 BGB an, dass eine im Voraus getroffene Vereinbarung, wonach Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, nichtig ist. Die Vorschrift bezweckt einen Schutz des Schuldners vor der Kumulation von Zinsen. Gemäß Absatz 2 dieser Vorschrift gilt eine Ausnahme für Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften. Diese können wirksam die Zahlung von Zinseszinsen versprechen. Auch beim handelsrechtlichen Kontokorrent können gem. § 355 HGB Zinseszinsen vereinbart werden. In § 289 BGB ist für den gesetzlichen Anspruch auf Zinsen als Ersatz des Verzugsschadens geregelt, dass von Zinsen keine Verzugszinsen zu entrichten sind.

Literatur

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• Andreas Eschbach: Eine Billion Dollar (2001)
• Erich Kästner: Ansprache zum Schulbeginn (1950)

Siehe auch

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• Josephspfennig
• Rentenrechnung
• Sparkassenformel
• Zinsrechnung (in diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung)

Weblinks

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• § 248 BGB
• § 289 BGB
• § 355 HGB
• Javascript zur Lösung von Standardaufgaben zur Zinseszinsrechnung: Berechnung von Anfangskapital, Endkapital, Zeit, Rate, Zinssatz
• Antwort in mathematischem Forum, welche das Thema Zinseszins vertieft darstellt und auf Barwerte, Zeitrenten, Leibrenten, etc. eingeht

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