Der Wirkungsquerschnitt ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen einem einfallenden Teilchen und einem anderen Teilchen eine bestimmte Wechselwirkung stattfindet. Der Begriff findet vornehmlich in der Atomphysik, Kern- und Teilchenphysik Verwendung.

Formelzeichen für den Wirkungsquerschnitt ist der griechische Buchstabe $\backslash sigma$ (sigma). Der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche; in der Kern- und Teilchenphysik werden Wirkungsquerschnitte meist in der Einheit Barn angegeben.

Der Wirkungsquerschnitt (im Folgenden als WQ abgekürzt) hängt ab von der jeweils interessierenden Wechselwirkung, von Art und kinetischer Energie des einfallenden Teilchens und von der Art des getroffenen Teilchens (Atoms, Atomkerns). Die letztgenannte Abhängigkeit bedeutet, dass WQ Materialeigenschaften sind. Beispielsweise sind zur Berechnung von Kernreaktoren oder Kernfusionsreaktoren umfangreiche Kerndatenbibliotheken erforderlich, die die WQ der verschiedenen Materialien für einfallende Neutronen verschiedener Energien für verschiedene mögliche Streuprozesse und Kernreaktionen enthalten.

Insbesondere bei Kernreaktionen wird der WQ, betrachtet als Funktion der Energie des einfallenden Teilchens/Quants, manchmal auch als Anregungsfunktion bezeichnet.

Definition

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Wird z.B. ein Gitter aus Atomen mit Teilchen beschossen, so ist der Wirkungsquerschnitt der Gitteratome die gedachte Fläche, die die Teilchen nicht durchdringen können. Anders als in der klassischen Mechanik hängt der WQ von der Energie der Projektile ab.

Zur Veranschaulichung lässt sich folgendes Modell verwenden: Jedem Zielteilchen (Targetteilchen) wird eine Fläche σ als gedachte "Zielscheibe" zugeordnet. Deren Größe wird so gewählt, dass die interessierende Wechselwirkung stattfindet, wenn ein einfallendes - punktförmig, also ausdehnungslos gedachtes - Teilchen diese Scheibe trifft, und dass sie nicht stattfindet, wenn es die Zielscheibe verfehlt. Diese hypothetische Fläche ist der WQ für diese Wechselwirkung bei der gegebenen Energie der einfallenden Teilchen.

Die Vorstellung vom WQ als einer den Targetteilchen zugeordneten Fläche bietet ein anschauliches Maß für die Stärke einer Wechselwirkung. Starke Wechselwirkungen ergeben große WQ, schwache Wechselwirkungen kleine WQ.

Die Wahrscheinlichkeit $w$, dass ein einfallendes Teilchen mit einem Targetteilchen wechselwirkt, errechnet sich also aus

$w=\backslash sigma\; N/F$,

wobei N/F die Anzahl der Targetteilchen je Flächeneinheit ist. Hierbei wird vorausgesetzt, dass N/F << 1 ist, damit sich die Targetteilchen nicht gegenseitig abschatten.

Die Wahrscheinlichkeit kann auch ausgedrückt werden als das Zahlenverhältnis von wechselwirkenden zu einlaufenden Teilchen:

$w\; =\; \backslash frac\{N\_W\}\{N\_0\}$.

Unter der Annahme, dass das Target nur infinitesimal dick ist, erhält man aus der obigen Gleichung, wenn man "Teilchen pro Fläche" durch "Teilchendichte $\backslash rho\_T$ mal Dicke $d\; x$ " ersetzt:

$\backslash frac\{N\_W\}\{N\_0\}\; =\; \backslash sigma\; \backslash rho\_T\; dx$.

Die wechselwirkenden Teilchen sind, da sie von ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt wurden, nicht mehr Teil des ursprünglichen Teilchenstrahls. Nach dem Durchlaufen einer infinitesimalen Targetschicht sind nur noch $N\_0\; -\; N\_W$ Teilchen im Strahl vorhanden. Löst man die letzte Gleichung nach $N\_W$ auf und setzt $N\_W\; =\; -dN$, erhält man für die Schwächung des Strahls die Differentialgleichung

$-dN\; =\; N(x)\; \backslash rho\_T\; \backslash sigma\; dx$.

Die Lösung hierfür ist

$N(x)\; =\; N\_0\; e^\{-\backslash sigma\; \backslash rho\_T\; x\}$.

Hat man ein bestimmtes Volumen, in dem man die Wechselwirkungen beobachtet, so ist $x\; =\; l$, wenn $l$ die Länge dieses Volumens ist. Setzt man dieses ein, kann man zur Berechnung des WQ die Gleichung direkt umstellen, da $N(l)\; =\; N\_0\; -\; N\_W$ ist:

$\backslash sigma\; =\; \backslash frac\{1\}\{l\; \backslash cdot\; \backslash rho\_T\}\; \backslash ln\backslash left(\backslash frac\{N\_0\}\{N\_0\; -\; N\_W\}\backslash right)$

Es gilt offenbar auch

$\backslash sigma\; \backslash rho\_T\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}$, wo $\backslash lambda$ die mittlere freie Weglänge ist. Eingesetzt sieht man sofort, dass dieses die Länge ist, nach der die Intensität des einfallenden Strahls auf $\backslash frac\{1\}\{e\}$ ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Hieraus folgt: $\backslash sigma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash rho\_T\}$.

Spezielle Wirkungsquerschnitte

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Je nach Art der betrachteten Wechselwirkung werden verschiedene Bezeichnungen für den WQ verwendet:

• Streuquerschnitt für Streuung, also Ablenkung des einfallenden Teilchens;
• Elastischer Wirkungsquerschnitt (oft auch nur "elastischer Querschnitt") für elastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem die kinetische Energie erhalten bleibt;
• Inelastischer Wirkungsquerschnitt ("inelastischer Querschnitt") für inelastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem kinetische Energie in andere Energieformen übergeht, z.B. wird ein Teilchen angeregt (d.h. in einen Zustand höherer Energie versetzt) oder es werden neue Teilchen erzeugt;
• Ionisationsquerschnitt für die Ionisation des Targetatoms;
• Spaltquerschnitt für die induzierte Kernspaltung.

Totaler Wirkungsquerschnitt

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Die Bezeichnung "totaler WQ" wird in zwei Bedeutungen verwendet:

(1) Manchmal ist damit der WQ für das Eintreten irgendeiner von mehreren möglichen, einander ausschließenden Wechselwirkungen gemeint, z.B. Absorption oder Streuung des einfallenden Teilchens. Dieser totale WQ ist die Summe der Einzel-WQ. Er wird beispielsweise dann benötigt, wenn es nur um die Abschwächung des einfallenden Teilchenstroms geht.

(2) Manchmal wird "Totaler WQ" auch nur im Sinne des oben definierten WQ verwendet, um ihn vom differenziellen WQ (s. unten) zu unterscheiden; eine bessere Bezeichnung ist in diesem Fall "Integraler WQ".

Differenzielle Wirkungsquerschnitte

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Winkelverteilung

Die Ableitung des WQ nach dem Raumwinkel Ω beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Wechselwirkung das gestreute Teilchen (oder Reaktionsprodukt usw.) in einen infinitesimalen Raumwinkelbereich (Kegel) dΩ hinein fliegt, der in einer bestimmten Richtung gelegen ist:

  $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash sigma\}\; \{\backslash mathrm\; \{d\}\backslash Omega\}$   

Dieser differenzielle WQ hat die Dimension Fläche pro Raumwinkeleinheit und als Maßeinheit z.B. Millibarn/Steradiant. Er hängt (außer, wie jeder WQ, von der Primärenergie, der Energie des einfallenden Teilchens) auch von der Richtung ab, d.h. vom Winkel, um den das Teilchen z.B. gestreut wird. Als Funktion dieses Winkels betrachtet heißt er auch Winkelverteilung. Die Summe (das Integral) dieses differenziellen WQ über alle Richtungen ist der integrale WQ.

Mit der Bezeichnung "Differenzieller WQ" ohne weiteren Zusatz ist fast immer dσ /dΩ gemeint.

Sekundärenergieverteilung

Seltener benötigt wird der nach der Energie E_s des Sekundärteilchens, also des gestreuten Teilchens oder Reaktionsproduktes abgeleitete WQ, dσ /dE_s, der die Energieverteilung der Sekundärteilchen beschreibt. Er hängt ab von der Primär- und der Sekundärenergie.

Doppelt differenzieller Wirkungsquerschnitt

Bei komplexen Vorgängen wie etwa dem Eindringen (Transport) schneller Neutronen in dicke Materieschichten, wo ein und das selbe Neutron verschiedene Streuprozesse und Kernreaktionen nacheinander "erleben" kann, wird auch der doppelt differenzielle WQ d²σ /dΩdE_s betrachtet, da er die detaillierteste physikalische Beschreibung erlaubt.

Geometrischer Wirkungsquerschnitt

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Im Fall der klassischen Mechanik ist der WQ durch die Geometrie gegeben; eine Wechselwirkung findet genau dann statt, wenn sich Projektil und Targetteilchen berühren. Für zwei Kugeln der Radien $R\_1$ und $R\_2$ ist der (totale) geometrische Wirkungsquerschnitt die Fläche eines Kreises mit Radius $R\_1+R\_2$, also:

$\backslash sigma\_\{geom\}\; =\; \backslash pi(R\_1+R\_2)^2$

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