Der Begriff Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) bezeichnet den Umstand, dass in einer einzelnen Aussage (z. B. einer Nachricht) oder in einem System von Aussagen (z. B. einer wissenschaftliche Theorie) kein Widerspruch enthalten ist d.h. kein Widerspruch durch logische Schlussfolgerungen abgeleitet werden kann.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir die folgende Aussagenmenge

{"Alle Griechen sind tapfer.", "Sokrates ist ein Grieche", "Sokrates ist nicht tapfer."}.

Aus dieser Menge kann die Aussage "Sokrates ist tapfer" sowie die Verneinung dieser Aussage, nämlich "Sokrates ist nicht tapfer", abgeleitet werden. Aus der Menge folgen also widersprüchliche Aussagen, d.h. sie ist nicht widerspruchsfrei oder, wie man auch sagt, inkonsistent.

Formale Definition

Formal lässt sich der Begriff der Widerspruchsfreiheit wie folgt definieren: (Hierbei ist $\backslash Gamma\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{A\}$ zu lesen als "aus $\backslash Gamma$ lässt sich $\backslash mathrm\{A\}$ ableiten" und "$\backslash neg\; \backslash mathrm\{A\}$" als "nicht $\backslash mathrm\{A\}$")

Sei $\backslash vdash$ eine Ableitbarkeitsrelation, $\backslash Gamma$ eine Menge von Formeln. $\backslash Gamma$ ist widerspruchsfrei gdw.

Wenn gilt: $\backslash Gamma\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{A\}$ dann gilt nicht: $\backslash Gamma\; \backslash vdash\; \backslash neg\; \backslash mathrm\{A\}$

Gilt für die Ableitungsrelation das ex falso quodlibet, dann kann Widerspruchfreiheit alternativ wie folgt definiert werden:

Sei $\backslash vdash$ eine Ableitbarkeitsrelation, $\backslash Gamma$ eine Menge von Formeln. $\backslash Gamma$ ist widerspruchsfrei gdw.

Es gibt eine Aussage: $\backslash mathrm\{A\}$, für die nicht gilt: $\backslash Gamma\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{A\}$

Der Grund ist, dass nach dem "ex falso quodlibet" aus einer widersprüchlichen Menge jede beliebige Aussage folgt.

Der Begriff der Widerspruchsfreiheit kann auch auf ein logisches System, d.h. auf die Ableitbarkeitsrelation $\backslash vdash$ selbst angewendet werden. Diese Relation ist widerspruchsfrei genau dann, wenn die leere Menge nach einer der obigen Definitionen widerspruchsfrei ist.

Hintergrund und Anwendung

Das Vorliegen eines Widerspruchs beweist die Falschheit bzw. Ungültigkeit einer Aussage bzw. eines Aussagensystems. Widerspruchsfreiheit ist daher eine wichtige Voraussetzung für

• die Wahrheit einer Aussage, Nachricht oder Information
• die Gültigkeit einer wissenschaftlichen Theorie, siehe auch wissenschaftliche Methode, Falsifikation
• die Brauchbarkeit eines Axiomensystems in der Mathematik
• die Brauchbarkeit eines logischen Systems

Der Gedankengang eines Widerspruchsfreiheitsbeweises für Logik und Mathematik findet sich bei den Erläuterungen zum Gentzenschen Hauptsatz.

Siehe auch

Wissenschaftstheorie | Erkenntnistheorie | Logik