Ein Wendepunkt $W\backslash left(x\_W|f(x\_W)\backslash right)$ ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der Stelle $x\_W$ liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion $f$ an der Stelle $x\_W$ ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion $f$ ableiten.

Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

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Voraussetzungen:
1. $f$ ist bei $x\_W$ zweimal differenzierbar
2. $x\_W$ ist Wendestelle

$f\text{'}\text{'}(x\_W)=0\; \backslash ,$

Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

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Die Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $x\_W$ dreimal differenzierbar. Falls gilt $f$(x_W)=0 \wedge f(x_W) \neq 0, so ist $x\_W$ Wendestelle. Wenn $f$ > 0, dann ist $x\_W$ Rechts-Links-Wendestelle und wenn $f$' < 0, dann ist $x\_W$ Links-Rechts-Wendestelle.

Falls die erste Ableitung an der Stelle $x\_W$ existiert und die zweite Ableitungsfunktion $f\text{'}\text{'}(x)$ an der Stelle $x\_W$ das Vorzeichen wechselt, so ist $x\_W$ ein Wendepunkt. Wenn $f\; \text{'}(x\_W)$ an $x\_W$ vom Positiven in das Negative wechselt, so ist $x\_W$ eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn $f\; \text{'}(x\_W)$ vom Negativen in das Positive wechselt, so ist $x\_W$ Rechts-Links-Wendestelle.

Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.

Beispiel

$\{\; f(x)\; \}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; 3\; \}\; \backslash cdot\; x^3\; -\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 3\; \backslash cdot\; x$

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:

$\{f\text{'}\text{'}(x)\}\; =\; \{2\; \backslash cdot\; x\; -\; 4\}$

Dann muss

$\{f\text{'}\text{'}(x)\}\; =\; 0\; =\; \{2\; \backslash cdot\; x\; -\; 4\}$

gesetzt werden. Das Ergebnis ist x=2. Zugleich ist

$\{f\text{'}\text{'}\text{'}(x)\}\; =\; 2\; \backslash ,$

und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.

Siehe auch: Kurvendiskussion | Analysis

Besondere Fälle

1. $\{\; f(x)\; \}\; =\; (x-2)\backslash cdot\; e^\{|x|\}$

Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert. Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.

2. $\{\; f(x)\; \}\; =\; x\; \backslash cdot|x|$

Diese Funktion besitzt in x=0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.

Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f ' bei x=0 ein Minimum.

Weblinks

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• "Wendepunkte bestimmen" im Online-Mathematikbuch

Инфлексна точка | Inflection point | Punto de inflexión | Point d'inflexion | נקודת פיתול | Flesso | Buigpunt | Punkt przegięcia