Die Wellenimpedanz, sehr oft als Wellenwiderstand bezeichnet, bestimmt die Eigenschaft einer physikalischen Welle, die sich in einem Medium fortpflanzt.
Man kann ihn sich anschaulich etwa als die Härte oder Weichheit vorstellen, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. Dadurch stehen z.B. Kraft und Bewegung (bei Schallwellen) oder Strom und Spannung (bei elektromagnetischen Wellen) in einem durch den Wellenwiderstand bestimmten Verhältnis zueinander.

Reflexionen

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An den Stellen, an denen sich der Wellenwiderstand abrupt ändert, kommt es zu Reflexionen (und es entstehen oft stehende Wellen). Die Extremfälle solcher Änderungen des Wellenwiderstandes sind offene und geschlossene Enden. Hierzu lassen sich folgende Analogien finden:

Art der Welle	Offenes Ende	Geschlossenes Ende	-	Elektromagn. Welle im Kabel	nicht verbunden	kurzgeschlossen	-	Hohlleiter	endet offen	leitfähig verschlossen	-	Schwingendes Seil/Saite	Ende hängt frei	Ende ist befestigt	-	Schall im Rohr	Ende offen	Deckel/Stopfen

In allen diesen Fällen findet eine nahezu vollständige Reflexion statt. Je nach Abschluss findet dabei ein Phasensprung von 180° statt oder nicht.

Beispiele für abgeschwächte Reflexion

Beispiele für Änderungen des Wellenwiderstandes mit einer abgeschwächten Reflexion:

• Akustische Welle
  • Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf dem Wasser auf.
• Elektromagnetische Welle
  • Zwei Koaxialkabel mit unterschiedlichen Geometrien werden zusammengelötet.
• Mechanische Welle
  • Das Ende eines zum Schwingen angeregten Seiles ist mit Gewichten beschwert oder mit einer Feder an einem festen Punkt befestigt.

Beispiele für totale Reflexion

• Akustische Welle
  • Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf eine Wand (Echo).
• Elektromagnetische Welle
  • Ein Koaxialkabel wird am Ende kurzgeschlossen
  • Ein Koaxialkabel wird am Ende offen gelassen
• Mechanische Welle
  • Ein Seil an der Wand befestigt.

Beispiele für reflexionsfreie Abschlüsse

• Akustische Welle
  • Schalltrichter eines Grammofones
  • Exponentialtrichter bzw. -Horn und Kugelwellenhorn beim Horn (Lautsprecher).
• Elektromagnetische Welle
  • Der Quellwiderstand eines Senders stimmt mit der Impedanz des Kabels (z.B. 50 Ohm) und der Antenne (ebenfalls 50 Ohm) überein (siehe Impedanzanpassung).
  • Ein Hohlleiter wird mit einem Exponentialtrichter abgeschlossen - es gibt es an dieser Stelle einen kontinuierlichen Übergang vom Wellenwiderstand im Hohlleiter zu demjenigen des freien Raumes.
• Mechanische Welle
  • Ein Seil wird über eine Feder an der Wand befestigt. Die Feder absorbiert die Wellenenergie.

Elektromagnetische Wellen

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Koaxialleitung_schema__offen.png | Koaxialleitung_schema__kurzgeschlossen.png | Koaxialleitung_schema__abgeschlossen.png Der Wellenwiderstand ist eine Kenngröße von längshomogenen Leitungen , wie Hohlleitern, Kabeln oder Einzeldrähten, welche zur Beschreibung der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen auf ihnen wichtig ist.
Die Berücksichtigung des Ausbreitungsverhaltens ist immer dann wichtig, wenn die übertragenen Signale hochfrequent sind im Vergleich zur Signallaufzeit auf der Leitung oder hochfrequente Anteile enthalten. Das ist z.B. der Fall bei

• hohen Frequenzen (z.B. Koaxialkabel in der HF-Technik oder Digitalsignale mit steilen Flanken)
• langen Leitungen (z.B. 50-Hz-Hochspannungsnetze über Kontinente hinweg)

Für homogene Leitungen ist der Wellenwiderstand eine reelle Größe (z.B. 50 Ω bei gängigen Koaxialkabeln).
Bei inhomogenen Leitungen oder Fehlanpassung kann das Verhalten eines Kabels durch einen komplexen Vierpol beschrieben werden.

Der Wellenwiderstand ist unabhängig von der Leitungslänge, kann jedoch leicht frequenzabhängig sein (Dispersion). Die Frequenzabhängigkeit wird durch das Dielektrikum des Kabels hervorgerufen und muss bei Breitband-Signalübertragungen berücksichtigt werden.

Der Wellenwiderstand ist nicht zu verwechseln mit dem ohmschen Leitungswiderstand, der die (Wärme-)Verluste beschreibt, wenn die Leitung von einem Strom durchflossen wird.
Den Wellenwiderstand eines Kabels kann man sich als Eingangswiderstand einer endlos langen Leitung vorstellen.
Je enger die Leiter beieinander sind, je dicker sie sind und je größer die Kapazität zwischen ihnen, desto geringer ist der Wellenwiderstand.

Die Wellenimpedanz ist in der Leitungstheorie definiert als:

$Z\_w=\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash mu\}\{\backslash varepsilon\}\}$

Die Wellenimpedanz ist ein Maß dafür, wie schnell sich eine Welle in einem Medium mit Permittivität $\backslash varepsilon$ und Permeabilität $\backslash mu$ ausbreitet.

Abschluss

Den Wellenwiderstand als Bauteil gibt es nicht. "Mit dem Wellenwiderstand abschließen" bedeutet, dass am entsprechenden Ende der Leitung ein Abschlusswiderstand mit der Größe des Wellenwiderstandes ist. Das kann ein ohmscher Widerstand, ein Geräteeingang oder eine Antenne sein.

Schickt man einen Spannungsimpuls in eine Leitung, die am anderen Ende nicht mit der entsprechenden Impedanz abgeschlossen ist, tritt dort eine Reflexion auf - vergleichbar mit einem akustischen Echo. Entspricht die Quellimpedanz der Signalquelle nicht dem Wellenwiderstand der Leitung, wird das "Echo" auch am anderen Ende reflektiert usw.
Die Übereinstimmung der Impedanzen von Quelle, Last und Wellenwiderstand ist deshalb fast immer erwünscht, um Reflexionen zu vermeiden.

Den reflexionsfreien Abschluß kann man sich so erklären, daß zwar eine Reflexion auftritt, diese aber aufgrund der Gleichheit mit dem Widerstand des Kabels zu gleichen Teilen in Phase und um 180° gedreht auftritt und sich somit auslöscht.

Ersatzschaltbild einer Koaxialleitung

Koaxialleitung_ersatzschaltbild.png

Messen

Man kann den Wellenwiderstand z.B. ermitteln, indem man den Wechselstromwiderstand der offenen Leitung ($Z\_0$) und den Wechselstromwiderstand der kurzgeschlossenen Leitung ($Z\_\{\backslash rm\; k\}$) misst.

Der Wellenwiderstand ($Z\_\{\backslash rm\; w\}$) ist dann: $Z\_\{\backslash rm\; w\}\; =\; \backslash sqrt\{Z\_0\; \backslash cdot\; Z\_\{\backslash rm\; k\}\}$

Anstelle der Bezeichnung Z_W wird oft auch die Bezeichnung Z_L (L=Leitung) verwendet.

Berechnen

Allgemein gültige Gleichung

Für Wechselstrom ist die (komplexe) Wellenimpedanz definiert als:
$Z\_W=\backslash sqrt\{\backslash frac\{R\text{'}+j\backslash omega\; L\text{'}\}\{G\text{'}+j\backslash omega\; C\text{'}\}\}$
mit L' = Induktivitätsbelag, C' = Kapazitätsbelag, R' = Widerstandsbelag und G' = Ableitungsbelag

Wird die Leitung als verlustfrei angenommen, vereinfacht sich die Gleichung zu:
$Z\_W=\backslash sqrt\{\backslash frac\{L\text{'}\}\{C\text{'}\}\}$

Eine Leitung ist verlustfrei, wenn keine Wirkwiderstände R' und Leitwerte G' vorhanden sind. Insbesondere kann man das bei hohen Frequenzen (GHz) annehmen, da die Blindanteile $j\backslash omega\; L$ und $j\backslash omega\; C$ proportional mit der Frequenz wachsen und somit die R' bzw. G' vernachlässigbar klein werden.

Wellenimpedanz der Luft

Breitet sich eine elektromagnetische Welle in der Luft aus, so berechnet sich der Wellenwiderstand zu
$Z\_\{\backslash rm\; w\}\; =\; \backslash sqrt\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{\backslash varepsilon\_0\}\; \backslash approx\; 120\; \backslash pi~\backslash Omega\; \backslash approx\; 376\{,\}99~\backslash Omega$
($L\text{'}=\backslash mu\_0$ und $C\text{'}=\backslash varepsilon\_0$)

Gleichungen für eine Koaxialleitung

Der Wellenwiderstand lässt sich auch aus der Geometrie des Leiters und der Isolierung berechnen:
Für koaxiale (asymmetrische) Leiter gilt:

Img31.gif

$Z\_\{\backslash rm\; w\}\; =\; \backslash frac\{60\backslash Omega\}\{\backslash sqrt\{\backslash varepsilon\_\{\backslash rm\; r\}\}\}\backslash cdot\; \backslash ln\; \backslash left(\; \backslash frac\{D\}\{d\}\backslash right)$

(mit $\backslash varepsilon\_\{\backslash rm\; r\}$: relative Dielektrizitätskonstante des Isolationsmaterials)

Für symmetrische Leiter gilt:

Img33.gif

$Z\_\{\backslash rm\; w\}=\backslash frac\{276\backslash Omega\}\{\backslash sqrt\{\backslash varepsilon\_\{\backslash rm\; r\}\}\}\backslash cdot\backslash lg\backslash left(\backslash frac\{2a\}\{d\}\backslash right)$

Standardwerte

Normierte Koaxialkabel haben einen Wellenwiderstand von 50Ω und 75Ω. Bei diesem Wellenwiderstand ist, abhängig vom verwendetem Dielektrikum, die Dämpfung des Kabels optimal. Ein Wellenwiderstand von Zw=50Ω ist optimal für Koaxialleitungen mit dem Dielektrikum wie Polyethylen $\backslash epsilon\_r=2,25$ (allgemeine Nachrichtentechnik). Bei einem Wellenwellenwiderstand von Zw=75Ω ist die Dämpfung für ein luftisoliertes Kabel optimal (Kabelfernsehen).

Akustische Wellen

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Akustische Wellen erfahren in verschiedenen Medien unterschiedliche "Widerstände"; das ist die "Kennimpedanz" dieser Werkstoffe.

Medium	Wellenwiderstand in $\backslash frac\{\backslash rm\; kg\}\{\backslash rm\; m^2\; \backslash cdot\; s\}$	-	Wasserstoff	$110$	-	Luft	$413\{,\}5$ bei 20 °C (Schallkennimpedanz)	-	Wasser	$1\{,\}48\; \backslash cdot\; 10^\{6\}$ bei 0 °C	-	Quecksilber	$19\{,\}7\; \backslash cdot\; 10^\{6\}$

Siehe auch

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• Abschlusswiderstand
• Leitungstheorie
• Fehlanpassung
• Impedanzanpassung

Weblinks

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• Theorie über Koaxialleitungen (PDF)
• elektronik-kompendium - Beschreibung des Wellenwiderstandes

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