Der Wellenvektor wird mit $\backslash vec\{k\}$ bezeichnet. Dieser zeigt in die Ausbreitungsrichtung einer Welle

$\backslash psi\; =\; A\; e^\{i\backslash vec\; k\backslash vec\; r\}$

Mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung

$\backslash vec\{k\}\; =\; (k\_x,\; k\_y,\; k\_z)$

zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen k-Raum in eine Richtung.

Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreis-Wellenzahl $k$:

$|\backslash vec\{k\}|=\backslash frac\{2\backslash cdot\backslash pi\}\{\backslash lambda\}$

wobei $\backslash lambda$ die Wellenlänge ist.

Wellenvektor und Quantenzahlen

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Der Wellenvektor ist nicht immer quantisiert. So kann die Wellenlänge eines Photons im Vakuum „jeden“ Wert annehmen, entsprechend existiert auch keine Quantenzahl, mit der dieses Teilchen beschrieben werden könnte. Denn eine Quantenzahl ist eine ganze Zahl, mit der die diskreten Eigenzustände eines Systems charakterisiert werden. Da Quantenzahlen höchstens abzählbar unendlich sind, kann das Kontinuum der Zustände eines solchen Photons nicht indiziert werden.

Anders verhält es sich beispielsweise mit Teilchen in einem Potentialtopf oder einem Elektron in einem endlich ausgedehnten Festkörper. Hier sind die erlaubten Wellenvektoren quantisiert, wenngleich sie selbst keine Quantenzahlen darstellen. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. können seine möglichen Werte durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien $E\_n$ eines quantenmechanischen Problems zu sehen: Der Index der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.

Veranschaulichung: Die Lösungen der Schrödingergleichung eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs lauten

$\backslash Psi\_\{n\_x,n\_y,n\_z\}(x,y,z)\backslash propto\backslash sin\backslash left(\; k\_x\; x\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash left(\; k\_y\; y\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash left(\; k\_z\; z\; \backslash right)$

$\backslash mathrm\{mit\}\backslash quad\; k\_i=\backslash frac\{n\_i\backslash pi\}\{a\_i\}\backslash quad\backslash mathrm\{fuer\}\backslash quad\; i=x,y,z.$

Die Zustände des Teilchens, das als Welle beschrieben wird, sind also durch die Quantenzahlen $n\_x$, $n\_y$ und $n\_z$ charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor $\backslash mathbf\; k=(k\_x,k\_y,k\_z)$ verwendet werden. Jedoch darf dieser oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil der Wellenvektor zum einen dimensionsbehaftet ist und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist.

Bei einem Potentialtopf mit N Teilchen ergeben sich N Vektoren im k-Raum. Wenn es sich um Elektronen, also Fermionen handelt, gibt es pro Wellenvektor zwei Zustände, die sich im Spin unterscheiden.

Siehe auch: Wellenfunktion, Wellenzahl

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