Als Wellengleichung bezeichnet man eine partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von Wellen modelliert und darüber hinaus (zusammen mit zahlreichen Varianten) auch als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse ist.

Die allgemeine Wellengleichung

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Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

$u(x\_1,\; ...,\; x\_n,\; t)$

im n-dimensionalen Raum

der Form

$c^2\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x\_i^2\}\; \backslash right)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; t^2\}\; =\; 0$.

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion von x_i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung ist vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension

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Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet

$c^2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; t^2\}$

(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung

$u\backslash left(x,t\backslash right)\; =\; f(x\; +\; ct)\; +\; g(x\; -\; ct)$

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende Welle.

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form

$u(x,t)\; =\; A\backslash sin(k\; x\; \backslash pm\; \backslash omega\; t\; +\; \backslash phi)$

bzw.

$u(x,t)\; =\; A\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{i\}(k\; x\; \backslash pm\; \backslash omega\; t)\}$

haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase $\backslash phi$ im komplexen Vorfaktor A), wobei

$\backslash omega\; =\; k\backslash cdot\; c\backslash ,$

Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

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In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen

$A\backslash sin(\backslash vec\; k\backslash vec\; x\; \backslash pm\; \backslash omega\; t\; +\; \backslash phi)$

bzw.

$u(\backslash vec\; x,t)\; =\; A\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{i\}(\backslash vec\; k\; \backslash vec\; x\; \backslash pm\; \backslash omega\; t)\}$

mit

$\backslash omega\; =\; \backslash left|\backslash vec\; k\backslash right|\; c$

geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von $\backslash vec\; k$.

Allgemeine Wellengleichung

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Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung

$\backslash left(\; \backslash Delta\; -\; \backslash frac\; \{1\}\{v^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; ^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash right)\; u\; =\; 0$.

Dabei ist $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit und $\backslash Delta$ der Laplaceoperator.

Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator vereinfacht als

$\backslash Box\; u\; =0$ schreiben.

Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

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Die Herleitung der Wellengleichung aus der Telegraphenleitung

Die Herleitung der Wellengleichung findet unter Anwendung der Maxwellschen Gesetze in differentieller Form statt.

im folgenden gilt:

$\backslash mu\; =\; \backslash mu\_r\; \backslash cdot\; \backslash mu\_0$

$\backslash epsilon\; =\; \backslash epsilon\_r\; \backslash cdot\; \backslash epsilon\_0$

$\backslash mathbf\{c\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash mu\; \backslash cdot\; \backslash epsilon\}\}$ und im Falle $\backslash mathbf\{\backslash mu\_r=1\; ,\; \backslash epsilon\_r=1\}$ ist $\backslash mathbf\{c\}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{\backslash rho\}$ und entspricht der Leitfähigkeit ($\backslash mathbf\{\backslash rho\}$ ist jetzt spez. Widerstand)

mit $\backslash mu\_0\; =\; 4\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 10^\{-7\}\backslash frac\{\backslash mathbf\{V\}\; \backslash mathbf\{s\}\}\{\backslash mathbf\{A\}\; \backslash mathbf\{m\}\}$ und $\backslash epsilon\_0\; =\; 8,8542\; \backslash cdot\; 10^\{-12\}\backslash frac\{\backslash mathbf\{A\}\; \backslash mathbf\{s\}\}\{\backslash mathbf\{V\}\; \backslash mathbf\{m\}\}$

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Herleitung der Telegraphenleitung

um daraus die Wellengleichung zu bestimmen.

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{\; E\}=-\backslash frac\{\backslash part\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{B\}\}\{\backslash partial\; t\}$ (2.Maxwell)

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\{\backslash mu\}\backslash frac\{\backslash part\; \backslash mathbf\{\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{H\}$

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\{\backslash mu\}\backslash frac\{\backslash part\; \backslash mathbf\{\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{H\}$ und mit $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{H\}=\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{J\}+\backslash frac\{\backslash part\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\; t\}$ (1.Maxwell)

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\{\backslash mu\}\backslash frac\{\backslash part\; \backslash mathbf\{\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash frac\{\backslash part\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\; t\}-\backslash mu\; \backslash frac\{\backslash part\; \}\{\backslash partial\; t\; \}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{J\}$ nun mit $\backslash vec\; \backslash mathbf\{J\}\; =\; \backslash kappa\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\{\backslash mu\}\backslash epsilon\; \backslash frac\{\backslash part^2\; \backslash mathbf\{\}\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; -\backslash mu\; \backslash kappa\; \backslash frac\{\backslash part\; \}\{\backslash partial\; t\; \}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\backslash frac\{1\}\{c^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash part^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t^2\}\; -\backslash frac\{\backslash kappa\}\{c^2\; \backslash epsilon\}\; \backslash frac\{\backslash part\; \}\{\backslash partial\; t\; \}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$ (vgl. hier auch die Telegraphengleichung)

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an dieser Stelle lassen sich verschiedene Vereinfachungen vornehmen:

Mit hilfe der Vektoranalysis bzw der "Großmann-Identität"

kann $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$ (auch bekannt als rot rot E) umgeschrieben werden zu :

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=\backslash nabla(\backslash nabla\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\})\; -(\backslash nabla\; \backslash nabla)\backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; .$

Unter der Bedingung, daß gilt: $\backslash nabla\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=\; 0$ (3.Maxwell:$\backslash nabla\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{D\}=\; \backslash mathbf\{\backslash rho\}$ und $\backslash mathbf\{\backslash rho\}\; =\; 0\; ,\; \backslash mathbf\{\backslash rho\}$ ist Raumladungsdichte)

kann vereinfacht geschrieben werden:

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=-\backslash nabla^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$

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Für einen metallischen Leiter gilt:

$\backslash mathbf\{\backslash kappa\}$ ist groß. (dies entspricht einer hohen Leitfähigkeit)

In dem Falle ist die Raumladung $\backslash mathbf\{\backslash rho\}$ zu vernachlässigen ( $\backslash mathbf\{\backslash rho\}\; =\; 0$ ),

da sie mit der Zeitkonstanten $\backslash mathbf\{\backslash tau\}=\; \backslash frac\{\backslash epsilon\}\; \{\backslash kappa\}$ abklingt. (vergleiche auch die Elektrostatik)

mit $\backslash mathbf\{\backslash rho\}\; =\; 0$ und 3.Maxwell:$\backslash nabla\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{D\}=\; \backslash mathbf\{\backslash rho\}$ folgt $\backslash nabla\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}=0$,

womit aus der Telegraphenleitung die Diffusionsgleichung folgt:

$\backslash nabla^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; =\backslash frac\{\backslash kappa\}\{c^2\; \backslash epsilon\}\; \backslash frac\{\backslash part\; \}\{\backslash partial\; t\; \}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$ oder $\backslash nabla^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; =\backslash kappa\; \backslash mu\; \backslash frac\{\backslash part\; \}\{\backslash partial\; t\; \}\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}$

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Für einen Isolator, idealerweise aber im Materiefreien Raum (näherungsweise auch Luft) gilt:

Raumladungsdichte $\backslash mathbf\{\backslash rho\}\; =\; 0$

und mit $\backslash mathbf\{\backslash kappa\; =\; 0\}$ bzw. $\backslash vec\; \backslash mathbf\{J\}\; =\; 0$

erhält man aus der Telegraphenleitung unmittelbar die Wellengleichung :

$\backslash nabla^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; =\backslash frac\{1\}\{c^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash part^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t^2\}$ oder $\backslash nabla^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\; =\backslash mu\; \backslash epsilon\; \backslash frac\{\backslash part^2\; \backslash vec\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t^2\}$

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Wellengleichung für anisotrope Körper

In anisotropen Körpern ist die elektrische Feldstärke E und die elektrische Verschiebungsdichte D nicht mehr gleich gerichtet. Damit kann die dielektrische Funktion $\backslash varepsilon$, welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:

$\backslash varepsilon\; \backslash cdot\; \backslash vec\{E\}\; =\; n^2\; (\backslash vec\{E\}\; -\backslash vec\{k\}(\backslash vec\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{k\}))$

Die Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik.

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