Weißes Rauschen

Weißes Rauschen ist in den Ingenieur- und Naturwissenschaften ein physikalisches Rauschen mit konstanter Amplitude im Leistungsdichtespektrum ( $S(w) = H$ ).

Die Leistung eines stochastischen Signals erhält man, wenn man das Leistungsdichtespektrum von null bis plus unendlich integriert. Das weiße Rauschen im theoretischen Sinne hat somit eine unendliche Signalenergie. Daher ist das Weiße Rauschen nur als ein theoretisches Modell anzusehen. In der Praxis fällt beim weißen Rauschen die Leistungsdichte für sehr große Frequenzen ab. Häufig ist das Weiße Rauschen auch nur eine Approximation des Gaußschen Rauschens mit einem gaußverteilten Spektrum, wobei nur ein kleiner, relevanter Ausschnitt des Spektrums als quasi-konstant angesehen werden kann.

Die Autokorrelationsfunktion eines weißen Rauschens ist nach dem Wiener-Khinchine-Theorem ein DIRAC-Impuls bei Null mit dem Faktor H. Das heißt für beliebig kleine t'>0 gilt: Was zum Zeitpunkt t+t' geschieht, ist absolut unabhängig davon, was zum Zeitpunkt t geschehen ist. Weißes Rauschen ist selbstähnlich. Auch hier sieht man, dass das Weiße Rauschen so in seiner Absolutheit in der Realität nicht existieren kann.

Rauschen in verschiedenen Fachgebieten

Akustik: ein subjektiv wahrgenommenes Signal, als ob die Amplitude mit der Frequenz anstiege, da im menschlichen Gehör die Empfindlichkeit bis in die Nähe einer von der jeweiligen Person abhängigen Grenzfrequenz mit zunehmender Frequenz logarithmisch ansteigt, obwohl beim weißen Rauschen die Amplitude der Frequenzen idealerweise konstant ist. Das weiße Rauschen ist ein Grenzfall des farbigen Rauschens, bei dem der wahrgenommene Frequenzbereich den gesamten Hörbereich umfasst. Der Höreindruck gleicht dem eines stimmlosen 'sch'. Subjektiv hat weißes Rauschen auf das Gehör eine leicht betäubende Wirkung, so dass es sich als Methode zur Lärmbekämpfung etabliert hat – Lärm wird als weniger laut und störend empfunden, wenn man ihm weißes Rauschen überlagert. Eine empfundene Gleichverteilung der Frequenzen wird demgegenüber mit dem Rosa Rauschen erreicht, das physikalische gesehen abnehmende Amplituden mit steigender Frequenz erzeugt.
Stochastik: in der Stochastik bezeichnet der Name weißes Rauschen einen diskreten stochastischen Prozess von unkorrelierten Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz und ist somit stationär. Das weiße Rauschen stellt somit den einfachsten stochastischen Prozess dar, jedoch werden viele komplexere Prozesse und Zeitreihen aus solchen konstruiert, etwa der Random Walk oder ARMA-Prozesse. Ein Spezialfall ist hierbei das gaußsche weiße Rauschen, hier sind die Zufallsvariablen normalverteilt.
Wahrscheinlichkeitstheorie: in der Wahrscheinlichkeitstheorie versteht man unter weißem Rauschen einen verallgemeinerten stochastischen Prozess, welcher als distributionelle Ableitung einer reellen Brown'schen Bewegung definiert werden kann.

Elektroakustik und physiologische Wirkung

Weißes Rauschen hat eine Spektralverteilung mit konstanter Leistung pro Bandbreiteneinheit, angegeben in Hz. Der 20-Hz-Bereich zwischen 20 und 40 Hz enthält die gleiche Rauschleistung wie der 20-Hz-Bereich zwischen 10.000 Hz und 10.020 Hz. Der theoretische Frequenzbereich von weißem Rauschen geht quasi vom Grenzwert 0 Hz (Gleichspannung) bis zu unendlich hohen Frequenzen. In der Praxis wird bandbegrenztes weißes Rauschen benutzt. Wir empfinden weißes Rauschen so, als ob die hohen Frequenzen größere Energie hätten. Der Klang ist hell und tiefe Frequenzen scheinen zu fehlen. Weißes Rauschen ist dem Klang von herkömmlicher Musik sehr unähnlich.

Etymologie: Farbanalogie

Beim Weißen Rauschen ist der Spektralverlauf mit konstanter Amplitude in Analogie zum weißen Licht, wo alle Lichtwellenlängen mit der gleichen Helligkeit vorhanden sind.

Beispiele

white.noise.b.w.png | white.noise.col.png Weißes Rauschen kann visualisiert werden, indem eine diskrete zweidimensionale komplexe Funktion mit konstanter Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Transformierten kann sowohl einfarbig (Graustufen) als auch getrennt für die drei Farbkanäle als RGB-Signal ausgegeben werden.

Weißes Rauschen kann auch hörbar gemacht werden, indem eine diskrete eindimensionale komplexe Funktion mit konstanter Amplitude und zufälliger Phase invers fourier-transformiert wird. Der Betrag der komplexwertigen Fourier-Transformierten kann sowohl monophon als auch stereophon ausgegeben werden.

Siehe auch

Akustik | Statistik | Ökonometrie

Weblinks