Wavelet-Transformation

Die Wavelet-Transformation (engl. wavelet transform) ist eine Form der Frequenz-Transformation. Als Basisfunktionen verwendet man Wavelets. Der große Vorteil gegenüber der Fourier-Transformation ist die zeitliche Lokalität der Basisfunktionen (siehe auch Short-Time-Fourier-Transformation) und die geringe Komplexität $O(N)$ , im Gegensatz zu $O(N \log N)$ bei der Fourier-Transformation, wobei $N$ die Datengröße ist).

Funktionsweise

Die Wavelet-Transformation kann als Verbesserung der Short-Time-Fourier-Transformation (STFT) angesehen werden.

Schwächen der Short-Time-Fourier-Transformation

Bei der STFT wird das zu untersuchende Signal mit einer Fensterfunktion – etwa mit der Gaussschen Glockenkurve wie bei der Gabor-Transformation – verglichen. Für jeden Punkt der STFT wird das Fenster an den zu betrachtenden Zeitpunkt und an die zu betrachtende Frequenz (Modulation im Zeitbereich) verschoben. Die absolute Zeitdauer und Bandbreite des Fensters ("Breite" im Zeit- und Frequenzbereich) – und damit die Auflösung – ändert sich dadurch nicht.

Die Auflösungen im Zeit- und Frequenzbereich sind nur abhängig von der Form des Fensters. Auf Grund der Zeit-Frequenz-Unschärfe ist die Auflösung im Zeitbereich umgekehrt proportional zur Auflösung im Frequenzbereich. Es lässt sich also nicht gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich die bestmögliche Auflösung erzielen.

Enthält nun ein Signal Frequenzanteile sowohl bei hohen als auch bei niedrigen Frequenzen, möchte man bei niedrigen Frequenzen eine gute (absolute) Frequenzauflösung erzielen, da eine kleine absolute Frequenzänderung hier stark ins Gewicht fällt. Bei einer hohen Frequenz ist eine gute Zeitauflösung wichtiger, da eine vollständige Schwingung hier weniger Zeit beansprucht und sich die Momentanfrequenz daher schneller ändern kann.

Hat man beispielsweise ein Signal mit Frequenzanteilen bei 1 Hz und 1 kHz und möchte die Frequenz auf 10% auflösen, so ist bei 1 Hz eine Frequenzauflösung von 0,1 Hz nötig. Bei 1 kHz entspricht dies einer Auflösung von 0,01% – eine so gute Auflösung ist hier nicht nötig.

Andererseits vollführt das Signal bei 1 kHz zehn vollständige Schwingungen in 10 ms. Um Frequenzänderungen in diesem Zeitraum auflösen zu können, ist eine Zeitauflösung besser als 10 ms nötig. Bei 1 Hz entspricht diese Zeitdauer nur einer hundertstel Schwingung. Eine so gute zeitliche Auflösung ist also hier nicht nötig.

Man wünscht sich also bei niedrigen Frequenzen eine gute Frequenzauflösung unter Inkaufnahme einer schlechten Zeitauflösung und bei hohen Frequenzen eine gute Zeitauflösung bei schlechterer Frequenzauflösung. Die Short-Time-Fourier-Transformation leistet dies nicht.

Zusammenfassung der Funktionsweise

Wie bei der STFT wird das zu untersuchende Signal mit einer Fensterfunktion verglichen. Anstatt allerdings das Fenster zu verschieben und zu modulieren (Verschiebung im Frequenzbereich) (wie bei der STFT), wird das Fenster verschoben und skaliert. Durch die Skalierung ergibt sich, wie durch die Modulation, ebenfalls eine Frequenzverschiebung, allerdings wird gleichzeitig mit einer Frequenzerhöhung die Zeitdauer ("Breite" im Zeitbereich) des Fensters verringert. Dadurch ergibt sich bei höheren Frequenzen eine bessere zeitliche Auflösung. Bei niedrigen Frequenzen wird die Frequenzauflösung besser, dafür wird die Zeitauflösung schlechter.

Arten der Wavelet-Transformation

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

Misst reelle Funktionen mittels Skalarprodukten mit einer verschiebungs- und skalierungsinvarianten Familie von Wavelet-Funktionen $\left\{\psi_{a,b}=a^{-\frac12}\psi\left(\frac{\cdot-b}{a}\right):\;a>0,b\in\mathbb R\right\}$ , so dass die Transformierte stetig wird. Die Funktion kann aus der Transformierten zurückgewonnen werden.

Eignet sich gut für Mensch/Maschine-Interfaces, da die Transformierte gut wahrnehmbar gemacht werden kann (Bilder). Wird zur Klassifikation von Singularitäten benutzt. Eine geeignete Klasse bilden die Morlet-Wavelets.

Es kann $\psi$ eine beliebige betrags- und quadratintegrierbare Funktion sein, für deren Fourier-Transformierte die Konstante $C_\psi=\int_R \frac{|\hat \psi(\tau)|^2}{|\tau|}\,d\tau$ endlich ist. Dies ist z.B. der Fall für quadratintegrable Funktionen, deren Stammfunktion ebenfalls quadratintegrabel ist.

Mit $\psi_a(x)=|a|^{-\frac12}\psi(x/a)$ ist die kontinuierliche Wavelet-Transformation

durch Faltung definiert als

W_f(a,b)=C_\psi^{-\frac12} (f*\psi_{-a})(b)

Die inverse kontinuierliche Wavelet-Transformation ist dann gegeben durch $f(x)=C_\psi^{-\frac12}\int_0^\infty (W_f(a,\cdot)*\psi_a)(x)\; a^{-2}\,da$ .

Diskrete Wavelet-Transformation

Die Diskrete Wavelet-Transformation oder DWT ist eine Wavelet-Transformation, die zeit- und frequenzdiskret durchgeführt wird.

Es wurde gezeigt, dass die Informationen trotz Reduktion auf eine diskrete Teilmenge $\{(a,b)=(\alpha^k,l\,\beta\,\alpha^{-k}):\;k,l\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R_+\times \mathbb R$ , bei $\alpha>1,\beta>0$ , vollständig erhalten bleibt.

Eine DWT lässt sich sehr effizient als eine Reihe von zeitdiskreten Filtern implementieren, die kontinuierliche Wavelet-Transformation wird praktisch auf diese Weise berechnet.

Schnelle Wavelet-Transformation

Die schnelle Wavelet-Transformation (engl. fast wavelet transform, FWT) ist ein Algorithmus, der mit Hilfe der Theorie der Multiskalenanalyse die diskrete Wavelet-Transformation implementiert. Dabei wird das Bilden des inneren Produkts des Signals mit jedem Wavelet durch das sukzessive Zerteilen des Signals in Frequenzbänder ersetzt. Dadurch wird die Komplexität der Wavelet-Transformation von $O(N \log N)$ (vgl. schnelle Fourier-Transformation) auf $O(N)$ reduziert.

Wavelet-Paket-Transformation und Beste-Basis-Algorithmen

Die Wavelet-Paket-Transformation ist eine Ausweitung der schnellen Wavelet-Transformation (FWT), indem nicht nur das Tiefpasskanal sondern auch das Bandpasskanal weiter mittels der Wavelet-Filterbank aufgespalten werden. Dies kann dazu dienen, aus einer üblichen 2-Kanal-DWT wie z.B. den Daubechies-Wavelets eine M-Kanal-DWT zu erhalten, wobei M eine Potenz von 2 ist, der Exponent wird Tiefe des Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenübertragung als Alternative zur schnellen Fourier-Transformation angewandt.

Wird in einem Rekursionsschritt der FWT ein weißes Rauschen als Eingangssignal transformiert, so ist das Ergebnis aufgrund der orthogonalen Natur der DWT wieder ein weißes Rauschen, wobei die Energie (=Quadratsumme der Samples) gleichmäßig auf Tief- und Bandpasskanal verteilt wird. Nimmt man eine möglichst hohe Abweichung von diesem Verhalten, d.h. eine möglichst vollständige Konzentration der Signalenergie auf einen der beiden Kanäle, als Entscheidungskriterium, ob der Eingangskanal aufgespalten werden soll und setzt dieses Verfahren für die aufgespaltenen Kanäle fort, so entsteht eine Variante eines Beste-Basis-Verfahrens.