Wellenreiten.jpg auflaufende Welle kurz vor dem Überschlagen.]]

Wasserwellen sind eine spezielle Wellenform. Es handelt sich dabei um Oberflächenwellen, an der Fläche zwischen Wasser und Luft. Die Oberflächenspannung des Wassers (oder allgemeiner der Flüssigkeit) bestimmt die Eigenschaften der so genannten Kapillarwellen mit Wellenlängen kleiner 2 cm. Die Gravitation bildet Schwerewellen mit Wellenlängen von bis zu 1000 km, wenn Wasser durch Einwirkung einer Störung zum Schwingen angeregt wird. Beispiele für Störungen sind der Wind, der verantwortlich ist für den Seegang auf den Meeren. Ins Wasser geworfene Steine und Strömungshindernisse erzeugen Wellen, fahrende Schiffe begleitet eine Bugwelle. Seebeben können Tsunamis hervorrufen.

Wellenentstehung

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Wasserwellen werden vorwiegend durch Wind erzeugt. Das linke Bild veranschaulicht die Entstehung. Wind strömt von links über eine ruhende Wasserfläche. An der Wasseroberfläche müssen sich die unterschiedlichen horizontalen Geschwindigkeiten von Wind und Wasser angleichen. Die Grenzfläche wird durch eine unstetige Potenzialströmung gebildet. Dazu stellt man sich vor, dass die Anpassung durch kleine Wirbel vermittelt wird, in der Abbildung durch Kreise angedeutet. Den Drehsinn zeigt der vergrößerte Kreis unten. Zu einer wirbelfreien Potenzialfläche gelangt man, wenn die Wirbel immer kleiner gewählt werden.

Die Grenzfläche ist äußerst instabil. Kleine Störungen, wie links im Bild durch eine kleine Erhebung angedeutet, stauchen die Stromlinien des Windes. Dadurch verringert sich der Druck (Strömung nach Bernoulli und Venturi) und der Wellenberg vergrößert sich.

Die Wellenbildung erfolgt wegen des großen Dichteunterschieds von Wasser und Luft unsymmetrisch. Ein Beispiel für die Ausbildung einer symmetrischen Grenzfläche bei Wasser mit nur geringfügig unterschiedlicher Dichte zeigt das Radarbild (rechts oben). Von links strömt oben warmes Meerwasser an kaltem Wasser (unten) vorbei. An der Grenzfläche bilden sich mittelgroße Wirbel (Englisch eddies), in die das kalte Wasser von unten und das warme Wasser von oben einströmen.

Das Bild (rechts unten) zeigt eine Satellitenaufnahme des indischen Ozeans. Die feinen Strukturen sind Oberflächen-Wasserwellen, während die langperiodischen Strukturen oben rechts von Grenzflächenwellen zwischen Wasserschichten unterschiedlicher Temperatur herrühren.

Struktur und Eigenschaften

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[[Bild:Waverp.gif|thumb|right|framed|Tiefwasserwelle, zwei Zirkularstömungen sind hervorgehoben.]] Allgemein gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wasserwellen mit einer Wellenlänge λ bei einer Wassertiefe von h:

(1) $c=\backslash sqrt\{\backslash frac\{g\backslash lambda\}\{2\backslash pi\}\backslash left(\backslash tanh\backslash frac\{2\backslash pi\; h\}\{\backslash lambda\}\backslash right)\}$

$\backslash pi$: Kreiszahl ($3,14..$)

$g$: Erdbeschleunigung (9,81 m/s²)

Mit c=λ * f (f: Frequenz) kann man (1) auch schreiben als:

(1a) $c\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{gc\}\{2\backslash pi\; f\}\; \backslash left(\backslash tanh\{2\; \backslash pi\; f\; h\backslash over\; c\}\backslash right)\}$

Eine typische Wasserwelle in tiefem Gewässer relativ zur Wellenlänge weist breite Wellentäler und schmale Wellenberge auf, die von lokalen kreisförmigen Strömungen getragen wird. Die Umlauf-Periode der Strömungen entspricht der Periode der Wasserwelle $T$, siehe Animation rechts. Mit zunehmender Tiefe $h$ nehmen die Radien der Kreisströmungen ab.

Bei Wellenlängen kürzer als einige Zentimeter bestimmt die Oberflächenspannung die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Für die sogenannten Kapillarwellen gilt:

(2) $c=\backslash lambda\backslash cdot\; f=\backslash sqrt\{2\backslash pi\backslash eta\backslash over\{\backslash rho\; \backslash lambda\}\}=\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\backslash eta\; f\}\{\backslash rho\}\backslash right)^\{1/3\}$

Darin bedeuten $\backslash eta$ die Oberflächenspannung und $\backslash rho$ die Dichte der Flüssigkeit.

Dispersion

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Als Dispersion bezeichnet man die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpaket (das heißt, das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich, sind Gruppen- und Phasengeschwindigkeit identisch. Ist dies nicht der Fall, liegt Dispersion vor. Für alle Wellenarten gilt nach Rayleigh die nachfolgende Beziehung zwischen Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit

(2a) $c\_g=c-\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash frac\{dc\}\{d\backslash lambda\}$

Hierin ist dc/dλ die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach Vorzeichen und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Aus historischen Gründen haben sich in der Optik dafür die Bezeichnungen normale Dispersion: dc/dλ > 0 und anomale Dispersion: dc/dλ < 0 eingebürgert.

Dispersion_c(f).jpg | Dispersion_c(L).jpg Die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Beziehung (1) von der Wellenlänge bzw. der Frequenz zeigen die beiden Abbildungen rechts. Zusätzlich ist die Abhängigkeit von der Wassertiefe (in der Zeichnung mit d statt h bezeichnet) angegeben. Hier gilt:

$dc/dL\backslash ge0$ (normale Dispersion)

Die Dispersion von Kapillarwellen ist kleiner als Null und deshalb anomal:

$dc/d\backslash lambda=\backslash frac\{-\backslash left(2\backslash pi\backslash eta\; \backslash lambda\backslash right)^\{-1/2\}\}\{2\backslash lambda\}\; \backslash \; bzw.\backslash \; dc/df=\backslash frac\{2\backslash pi\backslash eta\}\{3\backslash rho\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\backslash eta\; f\}\{\backslash rho\}\backslash right)^\{-2/3\}$

Näherungen

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Wellenlängen klein relativ zur Wassertiefe (Tiefwasserwelle)

Für Gewässer mit einer Tiefe von mindestens einer halben Wellenlänge $\backslash lambda$ nähert sich $\backslash tanh(x)$ in (1) dem Wert 1. Dann beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$:

(3) $c\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\{g\; \backslash lambda\; \}\{2\backslash pi\; \}\}$ für

oder mit (1a):

$c=\backslash lambda\backslash cdot\; f\; \backslash approx\; \backslash frac\{g\}\{2\backslash pi\; f\}$

Bezeichnet T die Periode mit der Frequenz f = 1/T, folgt mit c = λ/T aus (3):

(4) $1/f\; =\; T\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\{\backslash lambda\; \backslash cdot\; 2\backslash pi\; \}\{\; g\}\}$

Die Dispersion wird maximal, die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe unabhängig:

$dc/d\backslash lambda=\backslash sqrt\{g\backslash over\{8\backslash pi\backslash cdot\; \backslash lambda\}\}\; \backslash \; \backslash mbox\{bzw.\}\backslash \; dc/df=\backslash frac\{-g\}\{2\backslash pi\; f^2\}$

Aus (2a) erhält man die Gruppengeschwindigkeit c_g:

$c\_g\; =\; 0,5c$

Wellen mit großen Wellenlängen breiten sich schneller aus und besitzen eine größere Periode als solche mit kleinen Wellenlängen. Bei einer Wellenlänge von 1 km beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit ca. 140 km/h und die Periode 25 s, bei einer Wellenlänge von 100 m ca. 50 km/h und 8 s. Da zusätzlich die kurzperiodischen Wellen stärker gedämpft werden, nimmt man Sturmwellen in entfernten Gebieten als langperiodische Dünung wahr.

Wellenlängen groß relativ zur Wassertiefe (Flachwasserwelle)

Wellenlängen, die größer sind als die Wassertiefe (λ> 20 h), hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur von der Tiefe $h$ ab, nicht mehr von der Wellenlänge. Für kleine x gilt $\backslash tanh\; (x)\backslash approx\; x$ und damit erhält man aus (1):

(5) $c\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{\; g\; h\}$ für

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit zeigt keine Dispersion, das heißt sie ist unabhängig von der Wellenlänge. Deshalb ist die Phasengeschwindigkeit genauso groß wie die Gruppengeschwindigkeit:

$dc/d\backslash lambda=\; 0\; \backslash \; bzw.\backslash \; dc/df=\; 0$

$c=\backslash lambda\backslash cdot\; f=\backslash sqrt\{g\backslash cdot\; h\}$

$c\_g=c$

Nähert sich eine Welle einem langsam ansteigenden Ufer, verringert sich mit sinkender Wassertiefe die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront. Die nachfolgenden Wellen überrollen die Wellenfront, bis auch sie abgebremst werden. Die Wellenlänge nimmt ab, als Folge der Energieerhaltung vergrößert sich die Höhe der Welle, die Amplitude $A$. Die Wasserwellen türmen sich auf. Sie brechen bei einer mittleren Wassertiefe $h$ von ca. $h$= 1,3*$A$.

Grenzflächenwellen

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Bei den Betrachtungen oben gehen nur die Parameter eines Mediums ein. Diese Annahme ist für Oberflächenwellen von Wasser an Luft gerechtfertigt, da der Einfluß der Luft aufgrund der kleinen Dichte vernachlässigbar ist.

Die erweiterte Fassung von Gleichung (3) berücksichtigt die Dichte beider Phasen, bezeichnet mit ρ₁ und ρ₂:

$c^2=\backslash frac\{\backslash rho\_1-\backslash rho\_2\}\{\backslash rho\_1+\backslash rho\_2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{g\backslash lambda\}\{2\backslash pi\}$

Und bei Kapillarwellen (2) gilt:

$c^2=\backslash frac\{2\backslash pi\backslash eta\}\{\backslash lambda(\backslash rho\_1+\backslash rho\_2)\}$

Siehe auch Interne Wellen

Besondere Wellen

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Tsunamis werden durch Seebeben ausgelöst. Sie zeichnen sich aus durch eine sehr große Wellenlänge und auf hoher See durch kleine Amplituden von weniger als einem Meter. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Tsunamis folgt der Beziehung (5), denn die Wellenlänge von mehreren 100 km ist deutlich größer als die Tiefe der Meere. Tsunamis breiten sich (bei einer mittleren Meerestiefe von 5 km) mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h aus. In Küstennähe sinkt die Geschwindigkeit, während gleichzeitig die Höhe steigt. Verheerend sind die Schäden, die sie beim Auflaufen auf flache Küsten hervorrufen.

Gezeitenwellen sind Wellen, die durch die Tide verursacht werden.

An der Schichtung von leichtem Süßwasser auf schwerem Salzwasser beobachtet man Grenzflächenwellen, deren Auswirkungen auf Schiffe als Totwasser bezeichnet werden. Fährt ein Schiff in die Zone ein, kann es bei ausreichendem Tiefgang Bugwellen auf der Oberfläche der Salzwasserschicht erzeugen. Es verliert deutlich an Fahrt, ohne dass an der Wasseroberfläche Wasserwellen zu erkennen wären.

Als Grundsee wird eine kurze, steile und überbrechende Wasserwelle bezeichnet, deren Wellental bis auf den Grund reicht.

Bei der Planung von Schiffen ging man bisher davon aus, dass Wellen mit einer Höhe von mehr als 15 m ausgesprochen selten auftreten würden. Satellitenbeobachtungen wiesen aber nach, dass Riesenwellen (Kaventsmann, Freak Wave) mit Höhen von mehr als 30 m mehrmals im Jahr zu beobachten sind.

Siehe auch

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• Brandung (Wasser)
• Diskrete Fourier-Transformation (Beispiel zur Bestimmung der Wellenlänge aus SAR-Bildern)
• Hydrodynamik
• Kaventsmann
• Kielwasser
• Meteotsunami
• Seegang
• Tide
• Tsunami
• Wellenreiten

Weblinks

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• Motion in the Sea -- Waves (auf Englisch)
• Water waves (auf Englisch)

Literatur

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• Pohl, Einführung in die Physik

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