Wahrscheinlichkeitsverteilung

__NOTOC__ In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse verteilen. Das mathematische Konzept für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. eine Funktion $\mu$ , die jedem Ereignis $A$ eine Wahrscheinlichkeit $\mu(A)$ zuordnet.

Den Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung gebraucht man vor allem im Zusammenhang mit Zufallsvariablen: Unter der Verteilung der Zufallsvariable $X$ versteht man das Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu(A) = P(X\in A)$ , welches die Wahrscheinlichkeiten erfasst, mit denen die Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt (Bildmaß von $X$ ).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird zumeist beschrieben durch

eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder Zähldichte) $\rho(x) = P(X = x)$ bzw. $\rho(x) = \mu(\{x\})$ , wenn die Zufallvariable nur endlich oder abzählbar viele Werte annimmt (diskrete Verteilung),
eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) $f(x)$ , wenn sich die Wahrscheinlichkeiten als Integrale berechnen lassen (kontinuierliche Verteilung):

P(a \le X \le b) \, = \, \int_a^b f(x)\,dx

bzw.

\; \mu(

^*) \, = \, \int_a^b f(x)\,dx

Verteilungen auf den reellen Zahlen können allgemeiner durch die (kumulative) Verteilungsfunktion $F(x)$ beschrieben werden, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt: