Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik bildet sie das weite Feld der Stochastik, die von der Beschreibung zufälliger Ereignisse und ihrer Modellierung handelt.

Axiomatischer Aufbau

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Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis darauf, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen, ihre Ergebnisse sind dennoch exakt und vom jeweiligen Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig. Zur Auseinandersetzung mit den unterschiedlichen Verständnissen von Modellierungen zufälliger Abläufe sei auf die Artikel Wahrscheinlichkeit, Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff, Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff und Quantenlogik verwiesen.

Definitionen

Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge Ω zusammen. Wenn ein bestimmtes Ergebnis eintritt, spricht man von einem Ereignis. Das Ereignis ist als Teilmenge von Ω definiert. Umfasst das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse beinhalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge, wobei diese Unterscheidung häufig vernachlässigt wird.

Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignisraum Σ, einer Menge von Teilmengen von Ω. Im allgemeinen entspricht dabei der Ereignisraum nicht der Potenzmenge von Ω, es gibt also Teilmengen, denen keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Die Gründe für diese unintuitive Betrachtung sind maßtheoretischer Natur.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann als Abbildung P des Ereignisraums in das Intervall als Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß P: Σ →[0,1 im Sinne der Maßtheorie mit P(Ω)=1. Das Tripel (Ω, Σ, P) wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.

Glücksrad.PNG Beispiel: Zwei Glücksräder und ihre Wahrscheinlichkeitsräume

In dem typischen Fall, dass der Wahrscheinlichkeitsraum aus den reellen Zahlen besteht, muss bezüglich der Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen zwischen einer abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismenge unterschieden werden.

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn Ω endlich oder abzählbar ist, kann man für die σ-Algebra Σ die Potenzmenge von Ω wählen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus Ω ist hier 1.

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel)-messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ jeder Borelschen Menge $A$ als Integral

$P(A)=\backslash int\_A\; f(x)\backslash ,dx$

über eine Wahrscheinlichkeitsdichte $f$ geschrieben werden kann, wird $P$ absolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes P ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h. sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass P verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von P existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Im Rahmen eines maßtheoretischen Aufbaus der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte verallgemeinert zum Begriff der Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes relativ zu einem Referenzmaß. Im oben beschriebenen Fall ist das Referenzmaß gleich dem Borel-Lebesgue-Maß.

Axiome von Kolmogorow

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muss demnach die folgenden drei Kolmogorow-Axiome erfüllen:

1. Für jedes Ereignis A aus Ω ist die Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: 0≤P(A)≤1.
2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: P(Ω)=1.
3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Inkompatible Ereignisse sind disjunkte Mengen A₁, A₂ ...; es muss also gelten: $P(A\_1\; \backslash dot\backslash cup\; A\_2\; \backslash dot\backslash cup\; \backslash cdots)\; =\; \backslash sum\; P(A\_i)$. Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Die Ereignisse beim Werfen einer Münze mögen Zahl oder Adler lauten.

• Dann ist die Ergebnismenge Ω={Zahl,Adler}.
• Als Ereignisraum kann die Potenzmenge $\backslash Pi(\backslash Omega)\backslash ;$ gewählt werden, also $\backslash Sigma=\backslash \{\backslash \{\backslash \},\backslash \{\backslash mbox\{Zahl\}\backslash \},\backslash \{\backslash mbox\{Adler\}\backslash \},\backslash Omega\backslash \}\backslash ;$.
• Für das Wahrscheinlichkeitsmaß P steht aufgrund der Axiome fest:
  • $P(\backslash lbrace\; \backslash rbrace)=0$;
  • $P(\backslash lbrace\; Zahl\; \backslash rbrace)=1-P(\backslash lbrace\; Adler\; \backslash rbrace)$;
  • $P(\backslash Omega)=1$.

Stochastik_münze.PNG Ergebnismenge und Teilmengen bei einem (nicht idealen) Münzwurf

Zusätzliches (außermathematisches) Wissen ist erforderlich, um $P(\backslash lbrace\; Zahl\; \backslash rbrace)=P(\backslash lbrace\; Adler\; \backslash rbrace)=0,5$ anzusetzen. Dies kann ja durchaus von der Beschaffenheit der Münze abhängen.

Folgerungen

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse komplementäre Wahrscheinlichkeiten haben: P(Ω\A) = 1-P(A).

Beweis: Es ist $(\backslash Omega\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cup\; A\; =\; \backslash Omega$ sowie $(\backslash Omega\; \backslash setminus\; A)\; \backslash cap\; A\; =\; \backslash lbrace\; \backslash rbrace$. Folglich nach Axiom (3): $P(\backslash Omega\; \backslash setminus\; A)\; +\; P(A)\; =\; P(\backslash Omega)$ und dann nach Axiom (2): $P(\backslash Omega\; \backslash setminus\; A)\; +\; P(A)\; =\; 1$. Umgestellt ergibt sich: $P(\backslash Omega\; \backslash setminus\; A)\; =\; 1\; -\; P(A)$, wie behauptet.

2. Daraus folgt unmittelbar, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: P({})=0.

Beweis: Es ist $\backslash lbrace\; \backslash rbrace\; \backslash cup\; \backslash Omega\; =\; \backslash Omega$ und $\backslash lbrace\; \backslash rbrace\; \backslash cap\; \backslash Omega\; =\; \backslash lbrace\; \backslash rbrace$, also nach Axiom (3): $P(\backslash lbrace\; \backslash rbrace)\; +\; P(\backslash Omega)\; =\; P(\backslash Omega)$, d. h. nach Axiom (2): $P(\backslash lbrace\; \backslash rbrace)\; +\; 1\; =\; 1$. Hieraus folgt $P(\backslash lbrace\; \backslash rbrace)\; =\; 0$, wie behauptet.

3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: $P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A)\; +\; P(B)\; -\; P(A\; \backslash cap\; B)$.

Stochastikmengen1.PNG

Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge $A\; \backslash cup\; B$ kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Stochastikmengen2.PNG

Hieraus folgt nach (3): $P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A\; \backslash setminus\; B)\; +\; P(A\; \backslash cap\; B)\; +\; P(B\; \backslash setminus\; A)$.

Andererseits ist nach (3) sowohl

$P(A)\; =\; P(A\; \backslash setminus\; B)\; +\; P(A\; \backslash cap\; B)$ als auch

$P(B)\; =\; P(A\; \backslash cap\; B)\; +\; P(B\; \backslash setminus\; A)$.

Addition liefert:

$P(A)\; +\; P(B)\; =\; P(A\; \backslash setminus\; B)\; +\; P(A\; \backslash cap\; B)\; +\; P(A\; \backslash cap\; B)\; +\; P(B\; \backslash setminus\; A)$

$=\; P(A\; \backslash cup\; B)\; +\; P(A\; \backslash cap\; B)$.

Umstellen ergibt $P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A)\; +\; P(B)\; -\; P(A\; \backslash cap\; B)$, wie behauptet.

Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.

Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume

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Laplace-Experimente

Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich sind und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer idealen Münze {Zahl} und {Adler} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten einfach berechnen: Wir nehmen eine endliche Ergebnismenge Ω an, die die Mächtigkeit |Ω| = n besitzt, d. h. sie hat n Elemente. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses einfach $P=\{\; 1\; \backslash over\; n\}$.

Beweis: Wenn |Ω| = n ist, dann gibt es n Elementarereignisse E₁ bis E_n. Es ist dann einerseits $\backslash Omega\; =\; E\_1\; \backslash cup\; ...\; \backslash cup\; E\_n$ und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:

$P(E\_1)\; +\; ...\; +\; P(E\_n)\; =\; P(\backslash Omega)\; =\; 1$.

Da nun andererseits $P(E\_1)\; =\; ...\; =\; P(E\_n)\; =\; P$ sein soll, ist $n\; \backslash cdot\; P\; =\; 1$ und daher umgestellt: $P\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; n\; \}$, wie behauptet.

Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt. Ist A ein Ereignis der Mächtigkeit |A| = m, so ist A die Vereinigung von m Elementarereignissen. Jedes davon hat die Wahrscheinlichkeit $P=\{\; 1\; \backslash over\; n\}$, also ist $P(A)=m\; \backslash cdot\; \{1\; \backslash over\; n\}\; =\; \{m\; \backslash over\; n\}$. Man erhält also den einfachen Zusammenhang:

$P(A)\; =\; \{\; |A|\; \backslash over\; |\backslash Omega\; |\; \}$.

Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.

Das nachstehende Bild zeigt ein Beispiel beim Würfeln mit einem idealen Würfel (Laplace-Würfel).

Stochastik_würfel.PNG Das Ereignis H = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die Wahrscheinlichkeit ¹/₃.

Ein typischer Laplace-Versuch ist auch das Ziehen einer Karte aus einem Spiel mit n Karten oder das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit n Kugeln. Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist (B darf nicht das unmögliche Ereignis sein). Man schreibt P(A|B) für „Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung B“, kurz „P von A, vorausgesetzt B“.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiel mit 32 Karten (Skatblatt) eine Herz-Karte zu ziehen (Ereignis A), beträgt 1/4, denn es gibt 32 Karten und darunter 8 Herz-Karten. Dann ist P(„Herz“) = 8/32 = 1/4.

Stochastik_karten.PNG Ergebnismenge beim Ziehen einer Karte aus einem Skatspiel

Wenn nun aber bereits das Ereignis B „Die Karte ist rot“ eingetreten ist, man also nur noch die Auswahl unter den 16 roten Karten hat, dann ist P(A|B) = 8/16 = 1/2.

Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch. Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von „A, vorausgesetzt B“ als

$P(A\; \backslash vert\; B)\; =\; \{\; \{P(A\; \backslash cap\; B)\}\; \backslash over\; \{P(B)\}\}$

Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen vom Kolmogorow genügt, wenn man sich auf B als neue Ergebnismenge beschränkt; d. h. dass gilt:

(1a): $0\; \backslash le\; P(A\; \backslash vert\; B)\; \backslash le\; 1$

(2a): $P(B\; \backslash vert\; B)=1$

(3a): Wenn $A\_1$ bis $A\_k$ paarweise disjunkt sind, so ist $P(A\_1\; \backslash cup\; ...\; \backslash cup\; A\_k\; \backslash vert\; B)\; =\; P(A\_1\; \backslash vert\; B)\; +\; ...\; +\; P(A\_k\; \backslash vert\; B)$

Beweis: Zu (1a). $P(A\; \backslash vert\; B)$ ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt $P(A\; \backslash cap\; B)\; \backslash ge\; 0$ und $P(B)\; \backslash ge\; 0$. Da B nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar $P(B)\; >\; 0$. Also gilt auch für den Quotienten $P(A\; \backslash vert\; B)\; \backslash ge\; 0$. Ferner sind B und B\A disjunkt, und ihre Vereinigung ist B. Also ist nach Axiom (3): $P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(B)\; -\; P(A\; \backslash setminus\; B)$. Da $P(A\; \backslash setminus\; B)\; \backslash ge\; 0$ ist, folgt $P(A\; \backslash cap\; B)\; \backslash le\; P(B)$ und daher $P(A\; \backslash vert\; B)\; \backslash le\; 1$.

Zu (2a): Es ist $P(B\; \backslash vert\; B)\; =\; =\; \{P(B)\backslash over\; P(B)\}\; =\; 1$.

Zu (3a): Es ist $P(A\_1\; \backslash cup\; ...\; \backslash cup\; A\_k\; \backslash vert\; B)\; =$

$=\; =$

$=\; +\; ...\; +\; =\; P(A\_1\; \backslash vert\; B)\; +\; ...\; +\; P(A\_k\; \backslash vert\; B)$.

Dies war zu zeigen.

Beispiel: Es sei wie oben A das Ereignis „Ziehen einer Karo-Karte“ und B das Ereignis „Es ist eine rote Karte“. Dann ist $P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; \{8\; \backslash over\; 32\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 4\}$ und $P(B)=\; \{16\; \backslash over\; 32\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}$. Folglich $P(A\; \backslash vert\; B)\; =\; =\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}$.

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen)

Das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und B entspricht mengentheoretisch dem Eintreten des Verbund-Ereignisses $A\; \backslash cap\; B$. Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zu

$P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(A)\; \backslash cdot\; P(B\; \backslash vert\; A)\; =\; P(B)\; \backslash cdot\; P(A\; \backslash vert\; B)$

Beweis: Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist einerseits $P(A\; \backslash vert\; B)\; =\; \{\; \{P(A\; \backslash cap\; B)\}\; \backslash over\; \{P(B)\}\}$ und andererseits auch $P(B\; \backslash vert\; A)\; =\; \{\; \{P(A\; \backslash cap\; B)\}\; \backslash over\; \{P(A)\}\}$. Umstellen nach $P(A\; \backslash cap\; B)$ liefert dann sofort die Behauptung.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen. A sei das Ereignis: „Es ist ein König“. B sei das Ereignis: „Es ist eine Herz-Karte“. Dann ist $A\; \backslash cap\; B$ das gleichzeitige Eintreten von A und B, also das Ereignis: „Die gezogene Karte ist Herz-König“. Offenbar ist P(A) = 4/32 = 1/8. Ferner ist P(B|A) = 1/4, denn es gibt nur eine Herz-Karte unter den vier Königen. Und in der Tat ist dann $P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(A)\; \backslash cdot\; P(B\; \backslash vert\; A)\; =\; \{1\; \backslash over\; 8\}\; \backslash cdot\; \{1\; \backslash over\; 4\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 32\}$ die Wahrscheinlichkeit für den Herz-König.

Bayes-Theorem

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B, lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, vorausgesetzt A, wie folgt ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten P(B) und P(A) hat:

$P(A\; \backslash vert\; B)\; =\; \backslash frac\; \{P(B\; \backslash vert\; A)\; \backslash cdot\; P(A)\}\; \{P(B)\}$

Beweis: Aus der obigen Formel für die Verbundwahrscheinlichkeit erhält man $P(A)\; \backslash cdot\; P(B\; \backslash vert\; A)\; =\; P(B)\; \backslash cdot\; P(A\; \backslash vert\; B)$. Umstellen nach $P(A\; \backslash vert\; B)$ liefert dann die Behauptung.

Beispiel: Es sind zwei Urnen „A“ und „B“ gegeben, in denen sich rote und weiße Kugeln befinden. In „A“ sind sieben rote und drei weiße Kugeln, in „B“ eine rote und neun weiße. Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer beliebigen Urne gezogen. Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus Urne „A“ stammt.

Stochastik_urnen.PNG Urnenversuch

Es sei A das Ereignis: Die Kugel stammt aus Urne „A“. Es sei R das Ereignis „Die Kugel ist rot“. Dann lässt sich unmittelbar berechnen: P(R) = 8/20 = 2/5, denn es sind insgesamt 20 Kugeln im Spiel, davon 8 rote. Ebenso folgt leicht P(R|A) = 7/10, denn in Urne A sind 10 Kugeln, davon 7 rote. Schließlich ist P(A) = 1/2, denn es wird eine von 2 Urnen willkürlich ausgewählt. Nun folgt $P(A\; \backslash vert\; R)\; =\; \backslash frac\; \{P(R\; \backslash vert\; A)\; \backslash cdot\; P(A)\}\; \{P(R)\}\; =\; \backslash over\; \{2\; \backslash over\; 5\}\}\; =\; \{\; 7\; \backslash over\; 8\; \}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene rote Kugel aus Urne „A“ stammt (A vorausgesetzt R), beträgt 7/8.

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen

Ereignisse nennt man unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst. Im umgekehrten Fall nennt man sie abhängig. Man definiert:

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn gilt $P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(A)\; \backslash cdot\; P(B)$.

Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Dass dies dem Begriff „Unabhängigkeit“ gerecht wird, erkennt man durch Umstellen nach P(A): $P(A)\; =\; =\; P(A\; \backslash vert\; B)$. Das bedeutet: Die totale Wahrscheinlichkeit für A ist ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit für A, vorausgesetzt B; das Eintreten von B beeinflusst also die Wahrscheinlichkeit von A nicht.

Beispiel: Es wird eine aus 32 Karten gezogen. A sei das Ereignis „Es ist eine Herz-Karte“. B sei das Ereignis „Es ist eine Bild-Karte“. Diese Ereignisse sind unabhängig, denn das Wissen, dass man eine Herz-Karte zieht, beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Bild-Karte ist (Der Anteil der Bilder unter den Herz-Karten ist ebenso groß wie der Anteil der Bilder an allen Karten). Offenbar ist P(A) = 8/32 = 1/4 und P(B) = 12/32 = 3/8. $A\; \backslash cap\; B$ ist das Ereignis „Es ist eine Herz-Bildkarte“. Da es davon drei gibt, ist $P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; \{3\; \backslash over\; 32\}$. Und in der Tat stellt man fest, dass $\{1\; \backslash over\; 4\}\; \backslash cdot\; \{3\; \backslash over\; 8\}\; =\; \{3\; \backslash over\; 32\}$ ist.

Ein weiteres lesenswertes Beispiel für sehr kleine und sehr große Wahrscheinlichkeiten findet sich hier: Unendlich-viele-Affen-Theorem

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

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Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:

• Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
• Umgekehrt liefern statistische Daten über eingetretene Ereignisse Anhaltspunkte (in frequentistischer Interpretation sogar die einzigen akzeptablen Anhaltspunkte) für die Wahrscheinlichkeit künftiger Ereignisse.

Anwendungsgebiete

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Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glücksspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels.

Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der schließenden Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, etwa um Umfrageergebnisse zu interpretieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.

Daneben kommt sie außer in der Physik unter anderem auch in der Zuverlässigkeitstheorie zum Einsatz.

Literatur

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• U. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, 2005, ISBN 3528672595
• H.-O. Georgii: Stochastik. DeGruyter 2004, ISBN 3110182823
• H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. DeGruyter, Berlin 1978
• R. M. Dudley: Real Analysis and Probability. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0521007542
• F. Jondral, A. Wiesler: Wahrscheinlichkeitsrechnung und stochastische Prozesse Teubner, 2002, ISBN 3-519-16263-6

Weblinks

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• http://www.klein-singen.de/statistik/ Die Kunst mit Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu lügen: Mit zahlreichen Beispielen aus Politik, Gesellschaft, Medizin und Wissenschaft wird das Verständnis des Lesers geschärft, zukünftig Zahlenspielereien von (falschen) Experten skeptischer zu begegnen.

Stichworte

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Folgende Stichworte müssen noch eingearbeitet werden:

• Gesetz der großen Zahl, Korrelation, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stochastische Abhängigkeit, Dichtefunktion, Entropie

Statistik | Stochastik

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