Eine Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) (engl.: probability density function (pdf)) dient in der Mathematik der Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen einer stetigen Zufallsvariablen können (im Gegensatz zum diskreten Fall der Wahrscheinlichkeitsfunktion) nicht angegeben werden, denn die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Ausprägung müssen streng genommen 0 gesetzt werden. Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten $f(x)\backslash operatorname\{d\}x$ dafür angeben, dass die Werte innerhalb eines Intervalls $\backslash operatorname\{d\}x$ um $x$ liegen. Die Funktion $f(x)$ heißt dann Dichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable Werte zwischen $a$ und $b$ annimmt, wird dann allgemein definiert als das Integral über diese Funktion mit den Integrationsgrenzen $a$ und $b$.

Beispielsweise fragt man nicht, wie viele Personen exakt 1,75 Meter groß sind, sondern z. B., wie viele Personen zwischen 1,75 und 1,76 m groß sind.

Durch Integration über ein nach unten unendliches Intervall erhält man die Verteilungsfunktion. Eine Zufallsvariable $X$ heißt genau dann stetig verteilt oder kontinuierlich verteilt, wenn die dazugehörige Verteilungsfunktion stetig ist.

Auch für stetige Verteilungen lassen sich Momente angeben, die wichtigsten sind der Erwartungswert und die Varianz.

Definition

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Eine integrierbare Funktion $f$ heißt (Wahrscheinlichkeits-)Dichte oder Dichtefunktion der Zufallsvariable $X$, wenn

$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; \{\backslash rm\; d\}x\; =\; \backslash operatorname\{P\}(a\backslash le\; X\backslash le\; b)$.

Mathematisch gesehen ist die Funktion $f$ somit eine Dichte (siehe Satz von Radon-Nikodym) der Verteilung von $X$ bezüglich des Lebesgue-Maßes. Eine solche Dichte existiert genau dann, wenn

$P(X\; \backslash in\; N)\; =\; 0$

für jede Borel-Nullmenge $N$ (Satz von Radon-Nikodym).

Die Stetigkeit der Verteilungsfunktion bzw. die Eigenschaft $P(X\; =\; x)\; =\; 0$ für alle $x$ ist hierfür notwendig, aber nicht hinreichend. Beispielsweise hat eine unendliche Dezimalzahl zwischen 0 und 1, deren Ziffern durch einen Würfel bestimmt werden (etwa 0,5364142...), eine stetige Verteilungsfunktion, aber keine Dichte, da die Ziffern 7, 8, 9, 0 nicht vorkommen (vgl. Cantor-Menge).

Eigenschaften

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Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

Wenn die Verteilungsfunktion $F$ stetig differenzierbar ist, dann definiert ihre Ableitung eine Dichtefunktion

$f\; =\; F^\backslash prime=\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}F(x)\}\{\backslash operatorname\{d\}x\}$.

Beispiel:

Lognormal distribution CDF.png | Lognormal_distribution_PDF.png

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Lognormalverteilung (mit $\backslash mu=0$)

Normierung

Die Fläche unter der Dichtefunktion muss immer den Inhalt 1 besitzen, d. h.

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,\; \{\backslash rm\; d\}x\; =\; 1$.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Der Begriff der Verteilungsfunktion kann auch auf mehrdimensionale Zufallsvariablen, d.h. Zufallsvariablen, die Vektorwerte annehmen, erweitert werden: Hier ist in der Notation $F(x)=P(X\backslash leq\; x)\backslash ,$ das $x\backslash ,$ ein Vektor und das $\backslash leq\backslash ,$-Zeichen komponentenweise zu lesen. $F\backslash ,$ ist also hierbei eine Abbildung von $\backslash R^n\backslash ,$ in das Intervall ^*. Wenn $F\backslash ,$ eine differenzierbare Funktion ist, entsteht die Dichte durch partielle Differentiation:

$f:=\; \backslash frac\{\backslash partial\; F(x\_1,x\_2\; \backslash ldots\; x\_n)\}\{\backslash partial\; x\_1\; \backslash ldots\; \backslash partial\; x\_n\}$

dann erfüllt $f$ die Identität

$\backslash int\_\{a\_1\}^\{b\_1\}\; \backslash ldots\; \backslash int\_\{a\_n\}^\{b\_n\}\; f(x\_1\; \backslash ldots\; x\_n)\; \backslash \; \backslash \; dx\_n\; \backslash ldots\; dx\_1\; =\; P(X\; \backslash in\backslash times\; \backslash ldots\; \backslash times\; [a\_n,b\_n)$.

Stochastik

Sandsynlighedstæthedsfunktion | Probability density function | Función_de_densidad_de_probabilidad | Densité de probabilité | Funzione di densità di probabilità | Kansdichtheid | Gęstość prawdopodobieństwa | Probability density function | Täthetsfunktion | 機率密度函數