Wärmekapazität

Die Wärmekapazität ist ein Begriff aus der Thermodynamik und bezeichnet das Vermögen eines Körpers, Energie in Form von thermischer Energie zu speichern. Sie wird im Allgemeinen durch das Formelzeichen C dargestellt. Per Definition gibt C die Wärmemenge Q (in Joule) an, die einem Körper zugeführt werden muss, um einen Anstieg der Temperatur T (in Kelvin) zu erreichen:

C = \frac{\delta Q}{d T}

Dabei ist es von Nöten, dass der Prozess der Erwärmung quasi-statisch, das heißt sehr langsam erfolgt, so dass während des Prozesses irreversible Erscheinungen keine wesentliche Rolle spielen. Präziser sollte man deshalb von der Gleichgewichtswärmekapazität sprechen.

Im Allgemeinen spielen die äußeren Bedingungen, unter denen der Körper erwärmt wird, wie konstanter Druck oder konstantes Volumen, eine Rolle. Bei konstantem Druck wird beispielsweise gleichzeitig Arbeit in Form der thermischen Ausdehnung des Körpers geleistet, was auf Grund der Energieerhaltung zu einer größeren Wärmeaufnahme pro Temperatureinheit führt. Man unterscheidet deshalb die Wärmekapazität für ein konstantes Volumen C_V und für einen konstanten Druck C_p.

Ist der Körper physikalisch homogen, so ist es sinnvoll, die Wärmekapazität pro Masseneinheit (oder Stoffeinheit) anzugeben, welche dann als spezifische Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 kg eines Stoffs) oder Molwärme bzw. molare Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 mol eines Stoffs) bezeichnet wird. Erstere wird mit dem Formelsymbol c abgekürzt.

Die physikalische Einheit der Wärmekapazität ergibt sich aus ihrer Definition als die der spezifischen Wärmekapazität je nach bezogener Stoffeinheit als ^*.

Allgemeine Beziehungen

Zwischen den Wärmekapazitäten bei konstantem Druck $C_p$ und bei konstantem Volumen $C_V$ bestehen folgende allgemeine Beziehungen:

C_p - C_V = TV\frac{\alpha^2}{\kappa_T}

\frac{C_p}{C_V} = \frac{\kappa_T}{\kappa_S}

Hierbei ist $\alpha = \frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p$ der thermische Ausdehnungskoeffizient, $\kappa_T = -\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_T$ die isotherme Kompressibilität, $\kappa_S = -\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_S$ die isentrope Kompressibilität und $T$ die absolute Temperatur (K).

Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

Die spezifische Wärmekapazität idealer Gase hängt nur von der Temperatur ab und ist von Druck unabhängig. Aus der idealen Gasgleichung folgt:

c_p - c_V = \frac{R}{M}

wobei $R=8,31441$ J/(mol K) die universelle Gaskonstante und $M$ die mittlere molare Masse des Gases bezeichnet. Die Differenz $c_p - c_V$ ist also temperaturunabhängig.

Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers

Bei hohen Temperaturen gilt die Dulong-Petit'sche Regel, die eine konstante molare Wärmekapazität von

C= 3 R

für den Festkörper vorhersagt.

Bei niedrigen Temperaturen versagt dieses Modell. In diesem Bereich sagt das Debye-Modell eine $T^3$ -Abhängigkeit der Wärmekapazität vorher. Nach dem Debye-Modell wird die molare Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur durch nur eine Stoffgröße, die sogenannte Debye-Temperatur $\Theta_D$ , bestimmt:

c_V(T)=9R \cdot \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\frac{\Theta_D}{T}} \frac{x^4 \cdot e^x}{\left(e^x-1 \right)^2} dx

Beispiele: $\Theta_D(\mbox{Al})=426 \mbox{ K}$ , $\Theta_D(\mbox{Mg})=406 \mbox{ K}$ , $\Theta_D(\mbox{Fe})=464 \mbox{ K}$ , $\Theta_D(\mbox{Cu})=345 \mbox{ K}$ , $\Theta_D(\mbox{Sn})=195 \mbox{ K}$ , $\Theta_D(\mbox{Pb})=96 \mbox{ K}$ .

Der Vorläufer des Debye-Modells ist das Einstein-Modell, welches insbesondere bei tiefen Temperaturen für praktische Anwendungen zu ungenau ist.

Negative Kapazität (Sterne)

Die meisten physikalischen Systeme zeigen eine positive Wärmekapazität. Auch wenn das Gegenteil zunächst absurd erscheint, können Systeme auch eine negative Wärmekapazität aufweisen. Dazu zählen gravitierende Objekte wie zum Beispiel kollabierende Sterne, die sich beim Zusammenziehen (innere Energie verringert sich) erhitzen, oder sehr kleine Systeme (Cluster) aus einigen hundert Atomen nahe an einer Phasenumwandlung. Diese merkwürdige Eigenschaft steht im Zusammenhang mit der thermodynamischen Stabilität. Nur Systeme mit einer positiven Wärmekapazität können im thermodynamischen Sinne als stabil und damit auch als extensive Größe betrachtet werden.

Siehe auch: Wärmeleitkoeffizient, Spezifische Wärmekapazität

Weblinks

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Allgemeine Beziehungen

Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers

Negative Kapazität (Sterne)

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