120px-Hexahedron-slowturn.gif Das Volumen (Formelzeichen: V; v. lat.: volumen = Buch, Windung, Krümmung; aus volvere = wälzen, rollen) ist der räumliche Inhalt eines mathematischen Körpers.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Stoffes. Die SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m³). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Schreibweise m^3 sollte nur noch dann benutzt werden, wenn das Anzeigesystem keine hochgestellten Exponenten anzuzeigen vermag.

Geschichte

---

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert. Man muss also rechnen A³.

Messmethoden

---

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

• Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
• Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das übertretende Wasser wird anschließend in einem bekannten Gefäß gemessen.

Algebraische Berechnung

---

In der Theorie kann aus bekannten Ausmaßen und Form des Körpers ebenfalls das Volumen durch Rechnung nach für den entsprechenden Körper gültigen Formeln bestimmt werden:

Beispiele:

• Quader mit den Kanten a, b und c:
  $V\; =\; a\backslash cdot\; b\backslash cdot\; c$
• Würfel mit der Kantenlänge a:
  $V\; =\; a\backslash cdot\; a\backslash cdot\; a\; =\; a^3$
• Kugel mit dem Radius r:
  $V\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^3$
• Rotationskörper der Funktion f(x) bei Rotation um die x-Achse:
  $V\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; \backslash int\_\; \{a\}^b\; (f(x))^2\backslash mathrm\{d\}x$
• Rotationskörper um die y-Achse:
  $V\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; \backslash int\_\; \{a\}^b\; x^2\; \backslash mathrm\{d\}y$
• Körper, bei Schnitten orthogonal zur x-Achse: Hat ein Körper die stetige Querschnittsfunktion x → f(x) mit x im Intervall(a;b) dann hat er das Volumen:
  $V\; =\; \backslash int\_\; \{a\}^b\; f(x)\backslash mathrm\{d\}x$
• Zylinder mit der Grundfläche A und der Höhe  h:
  $V\; =\; A\backslash cdot\; h$
• Kegel mit der Grundfläche A und der Höhe  h:
  $V\; =\; A\backslash cdot\; \backslash frac\{h\}\{3\}$

Sonstiges

---

Auch außerhalb der Mathematik findet sich der Begriff Volumen, z. B. im

• Haarvolumen (Fülle des Haars)
• Teil (eigentlich: „Band“) eines mehrbändigen Werkes im (Buchwesen), abgeleitet vom englischen „volume“
• Menge von Daten in Bezug auf Transferkapazität oder Speicherplatz (Informatik)
• Zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt siehe Banach-Tarski-Paradoxon und Maßtheorie

Siehe auch

---

• Volumenkonzentration, Volumenprozent, Volumenverhältnis, Volumenanteil
• SI-Einheiten

Raumgeometrie | Analysis | Physikalische Größe

Volum | Rumfang | Volume | Volumen | Tilavuus | Volume | Volume | 体積 | Volumen | Volume | prostornina | Volym