Ein Vierervektor ist ein Vektor in der 4-dimensionalen Raumzeit der relativistischen Physik, dessen 4 Koordinaten sich entsprechend der Lorentztransformation kontravariant ändern, wenn er in ein anderes Inertialsystem transformiert wird. Ein Vierervektor ist ein Tensor 1. Stufe.

Die Phänomene der Zeitdilatation und Längenkontraktion ergeben sich im Vierervektor-Formalismus durch Lorentztransformation eines speziellen Vierervektors, des Ortsvektors.

Das Inertialsystem, in dem sich ein Beobachter befindet, wird auch als Bezugssystem bezeichnet. Bezugssysteme sind z.B. die Erde oder ein Raumschiff, das sich relativ zur Erde bewegt (jeweils idealisiert, d.h. real nur für kurze Zeit). Es kann sich aber auch um ein Labor oder ein Elektron handeln, das in diesem Labor eine kreisförmige Bahn beschreibt.

Im folgenden wird gezeigt, wie Vierervektoren in verschiedenen Bezugssystemen dargestellt werden, und wie diese Darstellungen mit der Lorentztransformation zusammenhängen.

Seien S und $S\text{'}$ Inertialsysteme. Man kann sich so ein Inertialsystem vereinfacht als eine Plattform vorstellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den (leeren) Raum bewegt. Auf jeder dieser Plattformen befindet sich ein Beobachter. Ein Ort auf der Plattform S werde durch die Koordinaten x,y, eine bestimmte Höhe durch die Koordinate z beschrieben. Der Beobachter hat eine Uhr, die die verstrichene Zeit t misst. Die Plattform definiert also eine Basis in der Raum-Zeit.

Um die Koordinaten x,y,z eindeutig festzulegen, sei der Beobachter auf der Plattform als im Ursprung des Koordiantensystems ruhend angenommen. Das System des ruhenden Beobachters wird mit S bezeichnet. Die räumliche Ausdehnung des Beobachters ist für die folgenden Überlegungen nicht wichtig, somit wird angenommen, dass er sich am Ort mit den Koordinaten x=0 und y=0 befindet.

Ein Ereignis in dem System S wird durch die Koordinaten x,y,z,t beschrieben. Ein solches Ereignis ergibt sich z.B. wenn der Beobachter eine Kerze anzündet. Es geschieht zu einer Zeit t, die Kerze befindet sich dann in einer Höhe z über dem Boden der Plattform, und da sie vom Beobachter angezündet wird, am Standort des Beobachters, d.h. es ist x=0 und y=0.

Relativ zu diesem Beobachter bewege sich eine andere Plattform $S\text{'}$ mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf der Plattform $S\text{'}$ befinde sich ein anderer Beobachter. Er befindet sich relativ zu seiner Plattform in Ruhe und er verwende die Koordinaten $x\text{'},y\text{'},z\text{'},t\text{'}$.

Es wird angenommen, dass sich der Beobachter in $S\text{'}$ im Ursprung seines Koordinatensystems befindet und dass die beiden Koordinatensysteme zum Zeitpunkt $t=t\text{'}=0$ deckungsgleich waren.

Ortsvektor

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Der Ortsvektor des Systems S beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten x,y,z eines Ereignisses.

In kontravarianter Darstellung sieht er folgendermaßen aus: $(x^\backslash mu)=(ct,x,y,z)$ und in kovarianter Darstellung: $(x\_\backslash mu)=(ct,-x,-y,-z)$ (gilt so nur in der Speziellen Relativitätstheorie).

Man verwendet die Darstellung ct anstatt t für die Zeitkoordinate, da dann ct und x,y,z die gleiche physikalische Dimension haben. c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Dass $(x^\backslash mu)$ ein Vierervektor ist, ergibt sich daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowski-Raums ist und sich dementsprechend kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation bei Basiswechsel ändert. Das Skalarprodukt des Minkowskiraums wird mit obiger Konvention

$(d\backslash tau)^2=g(dx,dx)\; =\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}dx^\backslash mu\backslash ,dx^\backslash nu\; :=\; (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2\; =\; c^2(dt)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$

Der adjungierte Vektor zu x, d.h. der x mittels des Skalarprodukts zugeordnete Kovektor=1-Form, hat die kovarianten Koordinaten

$x\_\backslash mu=g\_\{\backslash mu\backslash nu\}x^\backslash nu$, also $(x\_\backslash mu)=(ct,-x,-y,-z)$.

Für eine eindimensionale Bewegung des Systems $S\text{'}$ mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von S ergibt sich z.B. folgendes Transformationsverhalten:

$x\text{'}=\backslash frac\{x-vt\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\},y\text{'}=y,z\text{'}=z,ct\text{'}=\backslash frac\{ct-\backslash frac\{xv\}\{c\}\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}$

Die Bedeutung dieser Transformation ist folgende: misst ein Beobachter in S für ein Ereignis in $S\text{'}$ eine Zeitdifferenz $t\_1-t\_2$, so misst der Beobachter in $S\text{'}$ für das gleiche Ereignis die Zeitdifferenz $t\_1\text{'}-t\_2\text{'}$. Dabei werden $t\_1\text{'}$ und $t\_2\text{'}$ entsprechend der oben angegebenen Transformation berechnet.

Für jeden der beschriebenen Beobachter bewegt sich das andere System, während er sich relativ zu seinem System in Ruhe befindet. Entsprechend der allgemein gebräuchlichen Konvention wird S als das ruhende, $S\text{'}$ als das bewegte System betrachtet.

Geschwindigkeitsvektor

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Der Vierervektor der Geschwindigkeit $(u^k)$ ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors $(x^k)$ nach der Eigenzeit $d\backslash tau$.

$(u^k)=\backslash frac\{d\}\{d\backslash tau\}(x^k)$

In dem Kapitel über Zeitdilatation wird die Bedeutung der Eigenzeit beschrieben.

Da der Ortsvektor bereits ein Vierervektor ist, folgt hieraus, dass auch der Geschwindigkeitsvektor ein Vierervektor sein muss.

Genauere mathematische Begründungen findet man in der Literatur über Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie (vgl. die Literaturhinweise am Ende des Artikels).

Im folgenden wird gezeigt, wie sich der Geschwindigkeitsvektor aus dem Ortsvektor berechnen lässt:

Der Ortsvektor wird folgendermaßen dargestellt: $(x^k)=(ct,x,y,z)$

Die Eigenzeit ist folgendermaßen definiert: $d\backslash tau=dt\backslash sqrt\{\backslash left(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\backslash right)\}$

Die Relationen zwischen der Eigenzeit $d\backslash tau$ eines bewegten Systems und der Zeit dt eines ruhenden Beobachters können folgendermaßen geschrieben werden

$dt=\backslash gamma\; d\backslash tau$ bzw. $d\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash gamma\}dt$ mit $\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}$

Dabei wurde die in der Speziellen Relativitätstheorie verwendete Größe $\backslash gamma$ eingeführt.

Mit diesen Voraussetzungen lässt sich nun der Vierervektor der Geschwindigkeit berechnen: $(u^k)=\backslash frac\{d(x^k)\}\{d\backslash tau\}=\backslash left(\backslash frac\{cdt\}\{d\backslash tau\},\backslash frac\{dx\}\{d\backslash tau\},\backslash frac\{dy\}\{d\backslash tau\},\backslash frac\{dz\}\{d\backslash tau\}\backslash right)\; =\backslash gamma\; \backslash left(c,\backslash frac\{dx\}\{dt\},\backslash frac\{dy\}\{dt\},\backslash frac\{dz\}\{dt\}\backslash right)$

Mit den bisher betrachteten Vierervektoren lässt sich die relativistische Mechanik beschreiben (Viererimpuls, Viererkraft). Eine weitere Anwendung der Vierervektoren (insbesondere in der Gestalt von Differentialoperatoren) findet man in der relativistischen Quantenmechanik (Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung).

Weitere Vierervektoren

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Die Energie eines Teilchen $E=mc^2=p\_0c$ bildet zusammen mit dessen Impuls $\backslash vec\{p\}$ den Energie-Impuls-Vierervektor.

$p^\{\backslash mu\}=\backslash left(\backslash frac\{E\}\{c\},\backslash vec\{p\}\backslash \; \backslash right)$

In der Elektrodynamik kann man das elektrische Potential $\backslash Phi$ und das magnetische Potential $\backslash vec\{A\}$ zu einem Vierervektor zusammenfassen.

$A^\{\backslash mu\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash Phi\}\{c\},\backslash vec\{A\}\backslash \; \backslash right)$

Dies gilt auch für die elektrische Ladungsdichte $\backslash rho$ und den elektrischen Stromfluß $\backslash vec\; J$.

$J^\{\backslash mu\}=\backslash left(c\backslash rho,\backslash vec\{J\}\backslash \; \backslash right)$

Durch diese Darstellung wird offensichtlich, dass der Magnetismus nur eine relativistische Erscheinung der Elektrizität ist.

Der Viererableitungsoperator hat folgende Gestalt: $\backslash partial^\backslash mu=\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash partial\_t\; \backslash \backslash \; -\backslash nabla\; \backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash partial\_t\; \backslash \backslash \; -\backslash partial\_x\; \backslash \backslash \; -\backslash partial\_y\; \backslash \backslash \; -\backslash partial\_z\; \backslash \backslash \; \backslash end\{pmatrix\}$

Mathematische Behandlung

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Wichtig: Bei den in den nächsten Abschnitten dargestellten Formeln wird davon ausgegangen, dass sowohl für die Zeit- als auch für die Raumkoordinaten die selbe Maßeinheit benutzt wird, so dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit c den Wert 1 besitzt.

Länge

Die Länge eines Vierervektors wird durch die Formel:

$s^2\backslash ,=\backslash ,t^2\; -\; x^2\; -\; y^2\; -\; z^2$

definiert.

Ist der Wert für $s^2$ größer Null, so spricht man von einem zeitartigen Vektor. Ist er kleiner Null, so spricht man von einem raumartigen Vektor. Ist der Wert für $s^2$ gleich Null, so wird von einem lichtartigen Vektor gesprochen.

Ein zeitartiger Vektor kann zwei kausal zusammenhängende Ereignisse verbinden, zB im Minkowski-Raum zwei Ereignisse auf der Weltlinie eines unbeschleunigten Körpers. $s^2$ ist dann das Quadrat der zwischen diesen Ereignissen für diesen Körper verstrichenen Eigenzeit.

Ein raumartiger Vektor kann zwei räumlich getrennte Punkte auf einem Körper verbinden. $\backslash sqrt\{|s^2|\}$ ist dann der räumliche Abstand dieser Punkte im Ruhesystem des Körpers, die Ruhelänge dieser Strecke.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie existiert ein Metriktensor $g^\{ik\}$, so dass gilt:

$ds^2\; =\; g^\{ik\}\; dx\_i\; dx\_k$

Hierbei wird die sogenannte Einsteinsche Summenkonvention angewandt. Das bedeutet, wenn ein Indexbezeichner mehrfach benutzt wird, so werden die entsprechenden Ausdrücke multipliziert und über dem Bereich, über den sich der Index erstreckt, aufsummiert.

In der Speziellen Relativitätstheorie hat der Metriktensor die folgende Form:

$(g^\{ik\})\; =\backslash begin\{pmatrix\}$

1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Vektoralgebra

Skalarprodukt

Aus der Metrik ergibt sich für das Skalarprodukt von Vierervektoren folgende Definition:

$A^\backslash mu\; \backslash cdot\; B\_\backslash mu\; =\; A^\backslash mu\; \backslash cdot\; B^\backslash nu\; \backslash cdot\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; A\_\backslash mu\; \backslash cdot\; B^\backslash mu\; =\; A\_t\; B\_t\; -\; A\_x\; B\_x\; -\; A\_y\; B\_y\; -\; A\_z\; B\_z$

Dies ist kein Skalarprodukt im mathematischen Sinne, da es nicht die Eigenschaft der positiven Definitheit besitzt.

Literatur

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• L.D. Landau - E.M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band 2 - Klassische Feldtheorie, Verlag Harri Deutsch, 1997
• T.Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie, BI Wissenschaftsverlag, 1990 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie)
• Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, 1989

Relativitätstheorie

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