Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).

Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als 2 Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Für jedes Viereck gilt:

• Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.

• Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene (Raumfüller).

Spezielle Vierecke

• Trapez: Viereck mit zwei parallelen Seiten.

• Parallelogramm: Viereck, bei dem je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind.

• Rechteck: Viereck mit vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°, siehe rechter Winkel)

• Deltoid (Drachenviereck): Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Diagonale durch die andere halbiert wird. <==> Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die jeweils gleich lang sind.

• Rhombus (Raute): Viereck mit vier gleich langen Seiten
• Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten <==> Rhombus mit vier gleichen Winkeln
• Sehnenviereck: Viereck mit einem Umkreis (Die vier Seiten sind Sehnen des Umkreises.)
• Tangentenviereck: Viereck mit einem Inkreis (Die vier Seiten sind Tangenten an den Inkreis.)

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten u.a. folgende Mengenrelationen:
(Dabei steht jeder Begriff X synonym für Menge aller X)

Die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, zum Beispiel:
Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ Konvexes_Viereck

Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Drachenviereck ∩ gleichschenkliges Trapez
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges_Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

• nach Eigenschaften des Inneren:
  • konvex
  • nicht konvex

• nach Symmetrie-Eigenschaften:
  • eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
  • beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
  • die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkeliges Trapez
  • die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
  • vier Symmetrieachsen: Quadrat
  • zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
  • vierzählige Symmetrie: Quadrat

• nach der Länge der Seiten:
  • zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
  • gleichseitiges Viereck: Rhombus
  • die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

• nach der Größe der Winkel:
  • zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges Trapez
  • gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
  • die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

• nach der Lage der Seiten:
  • ein Paar paralleler Seiten: Trapez
  • zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
  • die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck

• nach der Lage der Ecken:
  • die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Formeln

Die Innenwinkelsumme beträgt 360°: $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma+\backslash delta=360^\backslash circ$

$\backslash theta\; =\; 90^\backslash circ\; \backslash Longleftrightarrow\; a^2+c^2\; =\; b^2+d^2$

Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus

$A=\backslash frac\{1\}\{2\}\; e\; f\; \backslash sin\; \backslash theta$,

$A=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(b^2+d^2-a^2-c^2\backslash right)\; \backslash tan\; \backslash theta$,

$A=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash sqrt\{4e^2f^2-\backslash left(b^2+d^2-a^2-c^2\backslash right)^2\}$.

Ein Viereck kann unter anderem durch geeignete Kombinationen folgender Angaben (fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke) beschrieben werden :

• Winkel an den Ecken (Innenwinkel)
• Länge der Seiten
• Länge der Diagonalen
• Umfang
• Fläche

Siehe auch

• Ungleichungen in Vierecken

Vierecksgeometrie | Geometrische Figur

رباعي الأضلاع | Quadrilàter | Čtyřúhelník | Quadrilateral | Cuadrilátero | Nelikulmio | Quadrilatère | Cuadrilátero | מרובע | Četverokut | Négyszög | Quadrilatero | Quadrilatero | 四角形 | 사각형 | Veerhook | Četrstūris | Vierhoek | Czworokąt | Quadrilátero | Четырёхугольник | Četverokut | Četverokotnik | Fyrhörning | நாற்கரம் | รูปสี่เหลี่ยม | Чотирикутник | Tứ giác | 四邊形