In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann die (kumulative) Verteilungsfunktion $F(x)$verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariable $X$ zu beschreiben. In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen, Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion zu vermeiden.

Definition

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Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist diejenige Funktion, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:

$F(x)\; =\; P(X\; \backslash le\; x)$     ($x\backslash in\backslash R$)

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen

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Jede Verteilungsfunktion $F:\backslash R\backslash mapsto*$ hat folgende Eigenschaften:

1. $F$ ist monoton steigend.
2. $F$ ist rechtsseitig stetig.
3. $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}\; F(x)\; =\; 0$ und $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; F(x)\; =\; 1$.

Rechnen mit Verteilungsfunktionen

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Ist von einer Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt:

Beispiel

Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 3 und 5 einschließlich zu würfeln zu

.

Überlebenswahrscheinlichkeit

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Beschreibt die Verteilungsfunktion $F(t)\backslash ,$ die Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer eines Systems zum Zeitpunkt $t$, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Überleben zu

$P(X>t)\; =\; 1\; -\; F(t)\backslash ,$.

Bezieht man sich nicht auf den Zeitpunkt $0$, sondern auf einen späteren Zeitpunkt $t\_\{0\}>0$, dann erhält man die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

$P(X>t\_\{0\}+t|X>t\_\{0\})\; =\; \backslash frac\{1\; -\; F(t\_\{0\}+t)\}\{1\; -\; F(t\_\{0\})\}$.

Mit der Beziehung für die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich sofort eine Beziehung für die Restlebensdauer

= \frac{P(Xt_{0})} = \frac{F(t+t_{0})-F(t_{0})}{1-F(t_{0})}.

Weiteres

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Verteilungsfunktionen können zur Definition der Konvergenz in Verteilung verwendet werden und spielen bei der Inversionsmethode eine Rolle.

Durch die Folge der relativen Summenhäufigkeiten wird die empirische Verteilungsfunktion bestimmt.