Vergleichsspannung.gifDie Vergleichsspannung ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre und bezeichnet eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Materialbeanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.

Damit kann der wirkliche drei-dimensionale Belastungszustand im Bauteil, bestehend aus Normal-Spannungen und Schub-Spannungen in alle drei Raumrichtungen, direkt mit den Kennwerten aus dem ein-achsigen Zugversuch (Material-Kennwerte, z.B. Streckgrenze oder Zugfestigkeit) verglichen werden.

Zur vollständigen Beschreibung des Spannungszustandes in einem Bauteil ist i. allg. die Angabe des Spannungstensors (Tensor 2. Stufe) notwendig. Dieser enthält im allgemeinen Fall sechs verschiedene Spannungswerte (da die Schubspannungen paarweise gleich sind). Durch die Transformation des Spannungstensors in ein ausgezeichnetes Koordinatensystem (das Hauptachsensystem) werden die Schubspannungen zu NULL und drei ausgezeichnete (Normal)Spannungen (die Hauptspannungen) beschreiben den Beanspruchungszustand des Systems äquivalent.

Die Elemente des Vektors der Hauptspannungen bzw. des Spannungstensors können nun in ein Skalar überführt werden, das zwei Bedingungen genügen soll:

• zum Einen soll es den Spannungszustand möglichst umfassend beschreiben (Äquivalenz kann hier nicht mehr erreicht werden: es treten immer Informationsverluste beim Übergang vom Vektor der Hauptspannungen zur Vergleichsspannung auf)

• zum Zweiten soll es auf jeden Fall eine versagensrelevante Information darstellen.

Spannungshypo.gif

Die Rechenvorschrift zur Bildung dieser Skalars Vergleichsspannung bezeichnet man als Vergleichspannungshypothese bzw. als Versagensregel. Im Rahmen einer Tragfähigkeitsanalyse vergleicht man sie mit zulässigen Spannungen, da sie implizit den Versagensmechanismus beinhaltet und damit ein Wert ist, der die Gefährdung des Bauteils unter der gegebenen Beanspruchung ausdrückt. Die Wahl der jeweiligen Vergleichspannungshypothese hängt also immer vom Festigkeitsverhalten des nachzuweisenden Materials sowie vom Lastfall (statisch, schwingend, Stoß) ab. Es gibt eine ganze Anzahl von Hypothesen zur Berechnung der Vergleichsspannung. Sie werden in der Technischen Mechanik häufig unter dem Begriff Festigkeitshypothesen zusammengefasst. Die Anwendung hängt vom Materialverhalten und teilweise auch vom Anwendungsgebiet (wenn etwa eine Norm die Anwendung einer bestimmten Hypothese fordert) ab.

Am häufigsten wird im Maschinenbau die Gestaltänderungsenergiehypothese nach Von Mises angewendet.

Außer den hier genannten gibt es noch weitere Hypothesen.

Jede dieser Hypothesen darf nur angewendet werden, wenn die ganze Belastung dem gleichen Lastfall zugeordnet werden kann, d.h. alles statisch oder alles wechselnd oder alles schwellend.

Falls dies nicht der Fall ist, z.B. bei einer Welle mit statischer Torsion und wechselnder Biegung (Umlaufbiegung), muss die Rechenvorschrift zur Bestimmung der Vergleichsspannungen modifiziert werden. Dazu wird das Anstrenungsverhältnis (nach J.C.Bach) eingeführt. Damit wird der Unterschied in der zulässigen Spannung für die verschiedenen Lastfälle berücksichtigt. Die Bach'sche Korrekturzahl ist 1 bei einheitlicher Beanspruchung (z.B. alles statisch oder alles wechselnd ).

Gestaltänderungshypothese (von Mises)

---

Nach der Gestaltänderungshypothese, auch Gestaltänderungsenergiehypothese (kurz: GEH) oder Mises-Vergleichsspannung genannt, tritt Versagen des Bauteils dann auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen Grenzwert überschreitet (s. auch Verzerrungen bzw. Deformation). Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z.B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Die Mises-Vergleichsspannung wird im Maschinenbau am häufigsten eingesetzt -- für die meisten gängigen Materialien (nicht allzu spröde) unter normaler Belastung (wechselnd, nicht stoßartig) ist die GEH einsetzbar. Wichtige Anwendungsgebiete sind die Berechnungen von Wellen, die sowohl auf Biegung als auch auf Torsion beansprucht werden sowie der Stahlbau. Wenig brauchbar ist die GEH bei nahezu hydrostatischen Spannungszuständen (gleich große Spannungen in allen drei Raumrichtungen).

Beschreibung im allgemeinen Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sigma\_x^2+\backslash sigma\_y^2+\backslash sigma\_z^2$

-\sigma_x\sigma_y-\sigma_x\sigma_z-\sigma_y\sigma_z +3(\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2)}

Beschreibung im Hauptspannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash big-\; \backslash sigma\_\{II\})^2\; +\; (\backslash sigma\_\{II\}\; -\; \backslash sigma\_\{III\})^2\; +\; (\backslash sigma\_\{III\}\; -\; \backslash sigma\_\{I\})^2\backslash big\}$

$\backslash sigma\_I$, $\backslash sigma\_\{II\}$ und $\backslash sigma\_\{III\}$ sind die Hauptspannungen.

Beschreibung im ebenen Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sigma\_x^2+\backslash sigma\_y^2$

-\sigma_x\sigma_y +3\tau_{xy}^2}

Beschreibung in Invariantendarstellung:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash sqrt\{3\; I\_2^\text{'}\}$

wobei $I\_2^\text{'}$ die zweite Invariante des Spannungsdeviators $s\_\{ij\}$ ist:

$I\_2^\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; s\_\{ij\}\; s\_\{ij\}$

Schubspannungshypothese (Tresca)

---

Es wird davon ausgegangen, dass für das Versagen des Werkstoffes die größte Hauptspannungsdifferenz verantwortlich ist. Diese Hauptspannungsdifferenz entspricht dem doppelten Wert der maximalen Schubspannung $\backslash tau$_max - dadurch wird sie bei zähem Material unter statischer Belastung, welches durch Fließen (Gleitbruch) versagt, angewandt. Im Mohr'schen Spannungskreis ist die kritische Grösse der Radius des grössten Kreises. Die Schubspannungshypothese findet aber auch im Maschinenbau ganz allgemein Anwendung, da der Formelapparat im Vergleich zur GEH einfacher zu handhaben ist und man mit ihr im Vergleich zu Von Mises (GEH) auf der sicheren Seite liegt (es kommen im Zweifelsfall etwas größere Werte für die Vergleichsspannung und damit etwas weniger Sicherheitsreserve heraus).

$\backslash sigma\_v\; =\; 2\; *\; \backslash tau$_max

Räumlicher Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash max(\backslash left|\backslash sigma\_\{I\}-\backslash sigma\_\{II\}\backslash right|;\backslash left|\backslash sigma\_\{I\}-\backslash sigma\_\; \{III\}\backslash right|;\backslash left|\backslash sigma\_\; \{II\}-\backslash sigma\_\; \{III\}\; \backslash right|)$

$\backslash sigma\_I$, $\backslash sigma\_\{II\}$ und $\backslash sigma\_\{III\}$ sind die Hauptspannungen.

Ebener Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash sqrt\{(\backslash sigma\_x-\backslash sigma\_y)^2+4\backslash tau\_\{xy\}^2\}]$

Normalspannungshypothese

---

Es wird davon ausgegangen, dass das Bauteil aufgrund der größten Normalspannung versagt. Im Mohr'schen Spannungskreis ist der kritische Punkt die maximale Hauptspannung. Die Hypothese wird für spröde Werkstoffe (z.B. Grauguss oder Schweißnähte) mit vorwiegend ruhender Zugbeanspruchung sowie bei stoss-artiger Belastung von zähen oder spröden Materialien angewendet, welche mit Trennbruch (Sprödbruch, ohne Fließen) versagen.

Räumlicher Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash max(\backslash sigma\_\{I\; \}\; ;\; \backslash sigma\_\{II\; \}\; ;\; \backslash sigma\_\; \{III\; \})$

Ebener Spannungszustand:

$\backslash sigma\_v\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; [(\backslash sigma\_x+\backslash sigma\_y)$

+\sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2+4\tau_{xy}^2}]

Siehe auch: Spannung, Mohrscher Spannungskreis

Festigkeitslehre