Vektorraum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Körper (VR über sich selbst)
topologischer Vektorraum
- normierter Raum
  - Prähilbertraum
    - Euklidischer Raum
      - reelle Zahlen
    - Unitärer Raum
      - komplexe Zahlen
  - Banachraum
    - Hilbertraum
Algebra (mit innerer Multiplikation)
- Assoziative Algebra
- Lie-Algebra

Vektorraum

Ein Vektorraum (auch linearer Raum) ist eine mathematische Struktur (insbesondere auch algebraische Struktur), die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra.

Ein Vektorraum besteht aus einzelnen Vektoren, die addiert oder mit einer skalaren Zahl multipliziert werden können, so dass das Ergebnis jeweils wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist. Die Elemente eines Vektorraums können nicht nur die aus der Geometrie bekannten Vektoren sein, sondern auch abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen.

Da die skalaren Zahlen, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man diese oder die komplexen Zahlen zugrunde.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten zu beschreiben. Dadurch wird das Rechnen in Vektorräumen erleichtert. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt und ist ein Maß für dessen Größe.

Formale Definition

Ein Vektorraum über einem Körper $K$ oder kurz K-Vektorraum ist eine abelsche Gruppe $(V,+)$ auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus $K$ erklärt ist.

\cdot:K \times V \to V

Die Skalarmultiplikation muss dabei für alle

u,v\in V

und

\alpha,\beta\in K

die folgenden Bedingungen erfüllen:

Assoziativität: $\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \cdot \beta) \cdot v$

Distributivgesetze: $\alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v$; $(\alpha + \beta) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v$

Neutralität der 1 des Körpers $K$: $1 \cdot v = v$

Anders ausgedrückt ist ein K-Vektorraum nichts anderes als ein K-Linksmodul, dessen Grundring $K$ sogar ein Körper ist.

Anmerkungen

Die Addition der abelschen Gruppe $(V,+)$ heißt Vektoraddition, ihr neutrales Element Nullvektor.
Die Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
Obwohl die Multiplikation im Körper $K$ und die Skalarmultiplikation nicht verwechselt werden dürfen, werden sie üblicherweise beide mit demselben Zeichen „ $\cdot$ “ bezeichnet. Oft lässt man das Multiplikationszeichen sogar ganz weg.

Erste Eigenschaften

Für alle

\alpha \in K

und

v\in V

gilt:

$(-\alpha) \cdot v = - (\alpha \cdot v) = \alpha \cdot (-v)$ .
$\alpha \cdot v = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha =0$ oder $v = 0$ .

Die Gleichung $v+x =w$ ist für alle $v,w \in V$ eindeutig lösbar; die Lösung ist $x = w + (-v)$ .

Beispiele

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die 2-dimensionale Euklidische Ebene $\R^2$ mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

\mathbf{v} = ( 2 , 3 )

ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

\mathbf{w} = ( 3 ,-5 )

ist die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

\mathbf{v} + \mathbf{w} = ( 5 ,-2 )

, d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor $\mathbf{0} = ( 0 , 0 )$ entspricht keiner Verschiebung.

Durch die Streckung der Verschiebung $\mathbf{v}$ mit einem Skalar $a = 3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

a \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 )

Raum der affinen Funktionen

Ein schon etwas abstrakterer Vektorraum ist der Raum der affinen Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form

f:\R\to\R,\;x\mapsto a\cdot x + b

mit reellen Zahlen

a

und

b

. Anschaulich gesprochen sind dies alle Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. In dieser Anschauung erzeugt unser Raum alle Geraden bis auf die genau senkrecht stehenden. Wählen wir beispielhaft zwei lineare Funktionen

f(x) = 2x + 3

g(x) = 3x - 5

so sehen wir, wie deren Summe wieder eine affine Funktion ergibt:

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2

Der Nullvektor ist die konstante Funktion

0 = 0x + 0

, die alle Punkte auf die Null abbildet.

Mit einem Skalar

a = 3

aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation

a \cdot f(x) = 3 \cdot (2x + 3) = (3 \cdot 2)x + (3 \cdot 3) = 6x + 9

Vektorraum der Polynome

Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden mit der üblichen Addition und Polynommultiplikation einen Vektorraum. Das Gleiche gilt jeweils für die Polynome deren Grad nach oben beschränkt ist. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

a + b \cdot x + c \cdot x^2 + d \cdot x^3 + e \cdot x^4

ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis ist

\{1,\ x,\ x^2,\ x^3,\ x^4\}

Spezielle Vektorräume

Euklidischer Vektorraum: Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt. Er ist ein Spezialfall eines Prähilbertraums und auch Spezialfall eines Hilbertraums.
Normierter Raum: Ein normierter Raum ist ein Vektorraum in dem Vektoren eine Länge (Norm) besitzen.
Prähilbertraum: Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt oder hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.
Topologischer Vektorraum: Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper $K$ ist ein topologischer Raum $V$ mit einer kompatiblen $K$ -Vektorraumstruktur, d.h. die Vektorraumoperationen ${+}\colon V\times V\to V$ und ${\cdot}\colon K\times V\to V$ sind stetig.
Unitärer Vektorraum: Ein unitärer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbert-Raum.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, konstruieren.

Untervektorraum

Hauptartikel: Unterraum

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt.

Ist nun $V$ ein $K$ -Vektorraum, so bildet eine Teilmenge $U\subseteq V$ einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$0 \in U$
für alle $x,y \in U$ gilt $x + y \in U$
( $U$ ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition)
für alle $x \in U$ und $a \in K$ gilt $a \cdot x \in U$
( $U$ ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)

Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den kleinsten Untervektorraum $\{0\}$ , der nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Es sei $V=\R^2$ der Vektorraum der Paare reeller Zahlen. Ein Untervektorraum ist z.B. $M = \R \times \left\{0\right\}$ , wie man leicht nachrechnen kann. Anschaulich ist $V$ eine Ebene, und $M$ ist die mit der x-Achse zusammenfallende Gerade.

Beweis: Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum

Jeder Untervektorraum ist mit den induzierten Operationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation auch selbst wieder ein Vektorraum: Wegen der Abgeschlossenheit sind Vektoraddition und Skalarmultiplikation wohldefinierte Verknüpfungen auf $U$ . Wegen $U \ne \empty$ gibt es mindestens einen Vektor $u \in U$ , und mit $u$ liegt auch das skalare Vielfache $0\cdot u = 0$ in $U$ , d.h. $U$ enthält den Nullvektor von $V$ . Mit $u$ liegt auch das additive Inverse $-u = (-1_K) \cdot u$ in $U$ . Die restlichen Vektorraumaxiome folgen aus der Teilmengenrelation $U \subseteq V$ .

Verallgemeinerungen

Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen) und Vektorraum (für Körper).

Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen K-Linksvektorräume und K-Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen K-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. K-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert.

Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen Halbkörper zugrunde legt, erhält man einen Halbvektorraum.

Siehe auch

Hierarchie mathematischer Strukturen, Raum (Mathematik)

Lineare Algebra

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