Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren in zwei oder mehr Dimensionen beschäftigt. Es besteht aus einem Satz von Formeln und Problemlösungstechniken, die für Ingenieurwesen und Physik sehr nützlich sind.

Wir betrachten Vektorfelder, die jedem Punkt dieses Raumes einen Vektor zuordnen, und Skalarfelder, die jedem Punkt dieses Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools zum Beispiel ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir den Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in diesem Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt ordnen wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.

Gängige Differentialoperatoren

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Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung von Bedeutung (dabei ist $\backslash partial$ der partielle Ableitungsoperator):

• Gradient eines Skalarfeldes: Gibt die Richtung und Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes ist selbst ein Vektorfeld.

$\backslash operatorname\{grad\}~\backslash varphi:=\backslash vec\; \backslash nabla\backslash varphi\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash \backslash \backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\{\backslash partial\; y\}\; \backslash \backslash [0.2cm\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\{\backslash partial\; z\}\; \backslash end\{pmatrix\}$

• Divergenz eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, zu Punkten hin oder von Punkten weg zu fließen; die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

$\backslash operatorname\{div\}~\backslash vec\; F:=\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; F\; =$

\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}

• Rotation eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren.

$\backslash operatorname\{rot\}~\backslash vec\; F\; :=\; \backslash vec\; \backslash nabla\backslash times\backslash vec\; F\; =$

\begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\^* \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\^* \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}

Integralsätze

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Integralsätze haben insbesondere in der Physik (z.B. Elektrodynamik) eine große Bedeutung.

Satz von Gauß

Das Volumenintegral über eine skalare Größe kann mittels des Divergenzbegriffs in ein Oberflächenintegral über dieses Volumen umgewandelt werden:

$\backslash int\_V\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash Psi(\backslash vec\; x)\; d^3x\; =\; \backslash int\_O\; \backslash Psi\; \backslash cdot\; d\; \backslash vec\; F$

Dies ist ebenfalls für eine vektorielle Größe möglich, das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses über die Oberfläche:

$\backslash int\_V\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash vec\; A(\backslash vec\; x)\; d^3x\; =\; \backslash int\_O\; \backslash vec\; A\; \backslash cdot\; d\; \backslash vec\; F$

Satz von Stokes

Das geschlossene Wegintegral einer vektoriellen Größe kann mittels der Rotation in ein Flächenintegral über eine vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche umgewandelt werden:

$\backslash int\_S\; \backslash vec\; A(\backslash vec\; x)\; \backslash cdot\; \backslash vec\; ds\; =\; \backslash int\_O\; (\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A)\; \backslash cdot\; d\; \backslash vec\; A$

Identitäten

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Diese Identitäten erweisen sich oft für Umformungen nützlich:

• $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash big(\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash Psi\; \backslash big)\; =\; 0$

• $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash big(\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A\; \backslash big)\; =\; 0$

• $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash big(\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A\; \backslash big)\; =\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash big(\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; A\; \backslash big)\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash vec\; A$

wird häufig zur Herleitung der Wellengleichung in der Elektrodynamik verwendet.

• $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; x\; =\; 3$

• $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; x\; =\; 0$

Folgerung aus dem Verschwinden der Divergenz

Aus $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; A\; =\; 0$ folgt $\backslash vec\; A\; =\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; B$ mit einem Vektorfeld B

Folgerung aus dem Verschwinden der Rotation

Aus $\backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A\; =\; 0$ folgt $\backslash vec\; A\; =\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash Psi$ mit einem Skalarfeld $\backslash Psi$

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter mit Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen, einer Theorie, die die Vektoranalysis umfasst.

Siehe auch: Differentialoperator

Literatur

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• Klaus Jänich: Vektoranalysis Springer, Berlin März 2005, ISBN 3540237410
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3. Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung ^*, Vieweg Verlag Januar 2001, ISBN 3528349379

Weblinks

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Analysis

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