Der Variationskoeffizient $\backslash operatorname\{VarK\}$ ist eine statistische Kenngröße in der Stochastik und der mathematischen Statistik. Er ist definiert als die relative Standardabweichung, d.h. die Standardabweichung dividiert durch den Mittelwert einer Zufallsvariablen. In der Regel wird der Variationskoeffizient in Prozent angegeben, d. h.

$$

\operatorname{VarK}(X) = \frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Mittelwert}(X)} \cdot 100 \, \% = \frac{\sqrt{\sigma^2(X)}}{\operatorname{E}(X)} \cdot 100 \, \% = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}\cdot 100 \, \%

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass Zufallsvariable mit großem Mittelwert im allgemeinen eine größere Varianz aufweisen als solche mit kleinem Mittelwert. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 0,5 Euro kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich schwanken. Da die Varianz und damit die Wurzel daraus, die Standardabweichung, nicht normiert sind, kann im Allgemeinen nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. Der Variationskoeffizient hingegen stellt eine Art Normierung der Varianz dar.

Das bedeutet insbesondere: Ist die Varianz größer als der Mittelwert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Quadrierter Variationskoeffizient

Die Varianz der Zufallsgröße $X/\backslash operatorname\{E\}(X)$ wird als quadrierter Variationskoeffizient $\backslash operatorname\{SCV\}$ bzw. $c^2\_X$ bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe $X$ gemessen wird.

$\backslash operatorname\{SCV\}\; =\; c^2\_X\; =\; \backslash operatorname\{Var\}\backslash left(\backslash frac\{X\}\{\backslash operatorname\{E\}(X)\}\backslash right)$

= \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left^*^2}{\left^*^2} = \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left^*^2} - 1

Beispiel

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Die reelle Zufallsvariable $X$ sei standardnormalverteilt. Erwartungswert und Standardabweichung von $X$ haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizent kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable $X+1000$ hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von $1/1000\; =\; 0,001$.

Anwendung bei Messreihen

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Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Meßreihe von Werten $x\_1,\backslash dots,x\_n$ vor, so bildet man analog den emprischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus emprischer Standardabweichung und arithmetischem Mittelwert.

Statistik | Coefficient of variation | Coefficiente di variazione | Coeficiente de variação