Varianz

Varian.png Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable $X$ von ihrem Erwartungswert $\operatorname {E}(X)$ . Die Varianz verallgemeinert das Konzept der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert in einer Beobachtungsreihe. Die Varianz der Zufallsvariable $X$ wird üblicherweise als $\operatorname{V}(X)$ oder $\operatorname{Var}(X)$ notiert. Ihr Nachteil für die Praxis ist, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt. Dieser Nachteil kann behoben werden, indem man von der Varianz zu deren Quadratwurzel, der Standardabweichung übergeht.

Siehe auch: Varianzanalyse

Definition

Wenn $\mu = \operatorname{E}(X)$ der Erwartungswert der quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen $X$ ist, dann berechnet sich die Varianz sowohl für diskrete, wie auch stetige Zufallsvariablen zu

\operatorname{Var}(X) := \operatorname{V}(X) := \operatorname{E}((X-\mu)^2)

Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen.

Die Varianz ist der Durchschnitt der Abweichungsquadrate vom Durchschnitt eines statistischen Merkmals.

In der Statistik existiert die Stichprobenvarianz. Sie ist die Varianz von Beobachtungswerten, die als Stichprobe einer Grundgesamtheit entstammen. Diese Varianz wird in der deskriptiven Statistik als Maß für die Streubreite von Daten verwendet. Als inferentielle Varianz dient sie zur Schätzung der unbekannten Varianz in der Grundgesamtheit. Die Stichprobenvarianz ist unter Standardabweichung oder Schätzfunktion näher erläutert.

Die Varianz steht in enger Relation zur Standardabweichung:

\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}

bzw.

\sigma^2= \operatorname{E}((X-\mu)^2)

Rechenregeln

Verschiebungssatz

\operatorname{V}(X)=\operatorname{E}\left(\left(X-\operatorname{E}(X)\right)^2\right)=\operatorname{E}(X^2)-\left(\operatorname{E}(X)\right)^2

Lineare Transformation

\operatorname{V}(aX+b)=a^2\operatorname{V}\left(X\right)

dies kann mittels des Verschiebungssatzes hergeleitet werden:

\operatorname{Var}(aX+b) = \operatorname{E}(aX + b - \operatorname{E}(a + bX))^2 = \operatorname{E}(aX + b - b - a \operatorname{E}(X))^2 =

= \operatorname{E}a^2 (X - \operatorname{E}(X))^2 = a^2 \operatorname{E}(X - \operatorname{E}(X))^2 = a^2 \operatorname{Var}(X)

Varianz von Summen von Zufallsvariablen

\operatorname{V}\left(\sum_{i=1}^na_iX_i\right)=\sum_{i=1}^na_i^2\operatorname{V}(X_i)+2\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^na_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)

Charakteristische Funktion

Die Varianz läßt sich mit dem Verschiebungssatz und der charakteristischen Funktion der Zufallsvariablen

X

darstellen als:

\operatorname{Var}(X)

= \frac{\varphi_X''(0)}{\mathrm{i}^{2}} - \left(\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm{i}}\right)^{2} = -\varphi_X''(0) + \varphi_X'(0)^2

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit den Wahrscheinlichkeiten

i	1	2	3
x_i	-1	1	2
f(x_i)	0,5	0,3	0,2

Die Varianz berechnet sich dann als

\operatorname{V}(X) = (-1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}5 +(1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}3 +(2-0{,}2)^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}56

wobei der Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2

beträgt. Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

\operatorname{V}(X) = (-1)^2 \cdot 0{,}5 +1^2 \cdot 0{,}3 +2^2 \cdot 0{,}2 - 0{,}2^2 = 1{,}56 \ .

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

f(x) =

\begin{cases} \frac {1}{x} & \mbox{ falls } 1 \le x \le e \\ 0 & \mbox{ sonst } \end{cases}

Mit dem Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x} dx = e - 1

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

\operatorname{V}(X)

= \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) dx - (\operatorname{E}(X))^2 = \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x} dx - (e - 1)^2

|- | |

_1^e - (e - 1)^2 = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -(e-1)^2 \approx 0{,}242

Siehe auch

Variationskoeffizient, Kovarianz, Parameter (Statistik), Moment (Statistik), Momenterzeugende Funktion, Charakteristische Funktion (Stochastik), Bestimmtheitsmaß, ANOVA, Jitter als Varianz der Latenzzeit

Weblinks

Varianz in Mathworld

Statistik | Stochastik

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