In der Mathematik ist eine Ungleichung eine Aussage über die relative Größe oder Ordnung zweier Objekte.

Die Schreibweise

Wenn die Aussage einer Ungleichung für alle Werte, für die sie definiert ist, die gleiche ist (z. B. $n>-1$ für $n$ aus $\backslash N$), heißt die Ungleichung absolut oder unbedingt. Gilt die Ungleichung nur für einige Werte der verwendeten Variablen, wird aber für andere Werte umgekehrt oder ist ungültig, so heißt sie bedingt.

Die Richtung einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich viel verkleinert oder vergrößert wird, oder wenn beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden. Multipliziert oder dividiert man hingegen mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Eigenschaften von Ungleichungen

Trichotomiegesetz

Für zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ gilt genau eine der folgenden Beziehungen:

• $a=b$
• $a>b$

Addition und Subtraktion

Für beliebige reelle Zahlen $a,\; b,\; c$ und $d$ gilt:

• Wenn $a>b$, dann ist $a+c>b+c$ und $a-c>b-c$.
• Wenn
• Wenn

Multiplikation und Division

Für beliebige reelle Zahlen $a,\; b$ und $c$ gilt ($c\backslash ne\; 0$):

• Wenn $c$ positiv ist und $a>b$, dann ist $ac>bc$ und $a/c>b/c$
• Wenn $c$ positiv ist und
• Wenn $c$ negativ ist und $a>b$, dann ist
• Wenn $c$ negativ ist und

Erweiterung des Begriffes