Unendlichkeit

∞

Die Unendlichkeit ist das Gegenteil von Endlichkeit. Sie kann nur abstrakt in der Vorstellung entwickelt werden und wird auf Objekte, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen besitzen, angewendet. Beispielsweise ist ein unendlich ausgedehnter Weltraum vorstellbar; auch kann man sich zeitlich nicht begrenzte Dinge vorstellen. In der modernen Physik kennt man das Phänomen der Singularität im Zusammenhang mit Schwarzen Löchern und dem Urknall: eine Singularität ist ein Punkt in der Raumzeit, an dem Masse in einem Punkt ohne Ausdehnung mit unendlicher Dichte konzentriert ist. Schwarze Löcher wurden indirekt bereits nachgewiesen.

Andererseits wird die Vorstellbarkeit der Unendlichkeit in der Natur auch bezweifelt, siehe hierzu auch Unendlichkeit (Philosophie).

In der Mathematik und Physik werden unendliche Werte durch das Symbol ∞, das auch Lemniskate genannt wird (eine auf der Seite liegende 8), dargestellt. Es wurde vom englischen Mathematiker John Wallis 1655 als Zeichen für eine unendliche Größe eingeführt. Ursprünglich wurde ∞ im alten Rom als Zeichen für die Zahl 1000 verwendet. Anderen Deutungen zufolge entstand es aus dem kleinen griechischen Buchstaben ω (Omega) oder dem kleinen liegenden θ (Theta).

Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer größeren Größen wird auch die unendliche Teilbarkeit, das unendlich Feine betrachtet, dessen Grenze Null ist, Null aber nicht erreicht. Aus der Negation des unendlich Feinen und deren Paradoxien ergab sich die ursprüngliche griechische „Atomtheorie“ des „Unteilbaren“.

Unendlichkeit in der Mathematik

Die Mathematik kennt den Begriff "Unendlich" in verschiedenen Teildisziplinen. Diese unterschiedlichen „Unendlichkeiten“ haben jeweils ihre eigenen Eigenschaften, und die Unendlichkeitbegriffe sind nicht austauschbar. Die Begriffe sind manchmal sehr unanschaulich und bereiten Nichtmathematikern deshalb Schwierigkeiten. Es kann helfen, wenn man sich klar macht, dass die Mathematik in der Regel keine Aussagen darüber macht, was Unendlichkeit "in Wirklichkeit" ist. Stattdessen werden Regeln für die Manipulation von Symbolen aufgestellt.

Siehe auch: endliche und unendliche Menge

Analysis

Das Symbol ∞ wird in der Analysis verwendet, um anzuzeigen, dass eine Folge reeller Zahlen oder eine andere reellwertige Funktion über alle Grenzen wächst. Siehe dazu Konvergenz und Limes. Für ∞ gelten einige Rechenregeln, die jedoch stets als Aussagen über (uneigentliche) Grenzwerte zu betrachten sind.

Unter anderem gilt die Rechenregel: für jede reelle Zahl $a$ : $a + \infty = \infty$

Präziser formuliert meint dies folgendes: Sind

(a_n)

und

(b_n)

zwei Folgen reeller Zahlen, so dass

(a_n)

gegen

a

konvergiert und

(b_n)

über alle Grenzen wächst

(in Zeichen:

\lim_{n\to\infty} a_n = a,\quad \lim_{n\to\infty} b_n = \infty

)

dann gilt für die Folge

(a_n + b_n)

, dass sie über alle Grenzen wächst,

(also

\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \infty.

)

Daraus folgt allerdings, dass für das Symbol ∞ manche für Zahlen konstituierende Rechenregeln nicht gelten können, dass es sich dabei also nicht um eine Zahl handeln kann: Denn könnte man z.B. von einer Gleichung "∞" subtrahieren, dann würde aus der oben genannten Regel (etwa für $a = 1$ , also aus $1 + \infty = \infty$ ) der Widerspruch $1 = 0$ folgen.

Merkregel: Unendlich ist keine reelle Zahl!

Für viele Zwecke in der (reellen) Analysis ist es angebracht, zwischen +∞ und −∞ zu unterscheiden. Dieser Zweig der Mathematik benutzt also zwei unendliche Elemente. Im folgenden werden einige grundlegende Arithmetische Operationen aufgelistet, die auf Unendlich angewendet werden können. Sie sind zu lesen als Aussagen über Folgen, die die jeweils involvierten Zahlen oder Unendlichkeiten als Grenzwert haben.

Operationen zwischen Unendlich mit Unendlich

Da Unendlich außerhalb der euklidischen Zahlenebene liegt, gilt:

{\,} - \infty < x < \infty \, \forall x \in \mathbb{R}

Wenn man zu Unendlich eine Zahl addiert oder subtrahiert erhält man wieder Unendlich:

\infty \pm x \to \infty \, \forall x \in \mathbb{R}

Unendlich plus Unendlich ergibt erneut Unendlich:

\infty + \infty \to \infty \,

-\infty -\infty \to -\infty \,

, da

-x-x = -(x+x)

Operationen mit Unendlich und reellen Zahlen

Eine positive Zahl

x_{+} \in \mathbb{R_{+}}

multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

x_{+} \cdot \infty \to \infty

x_{+} \cdot -\infty \to -\infty

-x_{+} \cdot \infty \to -\infty

-x_{+} \cdot -\infty \to \infty

Eine Zahl geteilt durch Unendlich ergibt Null:

\frac{x}{\infty} = \frac{x}{-\infty} \to 0

Hierbei gilt es zu beachten, dass die Gleichung

\frac{x}{\infty}=0

nicht in die Gleichung

0\cdot\infty = x

umgewandelt werden kann, da Null mal Unendlich undefiniert ist.

Undefinierte Operationen

Die folgenden Operationen sind undefiniert:

$0\cdot\pm\infty$
$\infty - \infty\,$
$\pm\frac{\infty}{\infty}$
$\pm\infty^0\,$
$1^{\pm\infty}\,$
$\frac{x}{0}$

Der Grund dafür ist, dass man Beispielsweise die Gleichung

\frac{\infty}{\infty}

mit Hilfe von zwei unterschiedlich konvergierenden Folgen ausdrücken kann:

\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}

Abhängig von der Art der gewählten Folge erhält man unterschiedliche Ergebnisse. Im gegebenen Beispiel erhält man beispielsweise:

\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2}\to 0

\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n}\to 1

\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n} \to \infty

Topologie

Mit Methoden der Topologie ist es möglich, den Grenzwertbegriff so zu fassen, dass der umgangssprachliche Sinn von "Unendlichkeit" vollständig eliminiert wird.

Dazu wird die Menge $\mathbb R$ erweitert zu einer Menge $\bar{\mathbb R}:=\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}$ . Auf $\bar{\mathbb R}$ lässt sich eine Topologie so definieren, dass Funktionen, die in $\mathbb R$ gegen Unendlich streben, in $\bar{\mathbb R}$ eine stetige Fortsetzung haben.

Funktionentheorie

In der Theorie der komplexwertigen Funktionen einer komplexen Variablen (Funktionentheorie) erweist es sich, anders als bei den reellen Zahlen, als günstig, nur einen mit ∞ bezeichneten Grenzwert zu verwenden. Es wird festgesetzt:

Wächst in der komplexen Zahlenebene bei einer Zahlenfolge (z.B. bei gleich bleibendem Argument) der Betrag über alle Grenzen, so wird als Grenzwert einer solchen Folge stets das gleiche Element ∞ verwendet.

Die komplexe Zahlenebene schließt sich damit zu einer Kugel (Riemannsche Zahlenkugel). "∞" ist der Gegenpol zur Zahl Null.

Hinweis: Auch in anderen Zusammenhängen ist es praktisch, nur einen unendlichen Wert zu verwenden. So ist z.B. ist die Steigung einer Geraden entweder eine reelle Zahl oder "Unendlich". (Ein Vorzeichen ergäbe hierbei keinen Sinn).

projektive Geometrie

Bei der Erweiterung einer affinen Ebene zu einer projektiven Ebene werden "unendlich ferne Punkte" (Fernpunkte) hinzugefügt, die als Schnittpunkte der (bis dahin) parallelen Geraden dienen. ("Parallelen schneiden sich im Unendlichen.") Für jede Richtung, die Geraden haben können, wird genau ein neuer Punkt definiert. Die Gesamtheit dieser "unendlich fernen" Punkte heißt die "unendlich ferne Gerade".

Bei diesem Vorgehen entstehen genau so viele unendliche Objekte, wie eine Gerade Punkte hat (zuzüglich einem, nämlich der unendlich fernen Geraden). Je nachdem, von welcher affinen Ebene ausgegangen wird, kann diese Anzahl endlich oder unendlich sein. Ausgehend von der üblichen euklidischen Ebene $\mathbb{R}^2$ ergeben sich so viele "unendlich ferne Punkte", wie es reelle Zahlen gibt.

Auch hier dient der Begriff "unendlich" nur dazu, die formale Definition zu motivieren. Werden projektive Ebenen ohne Bezug auf eine affine Ebene betrachtet, so spielt dieser Begriff keine Rolle.

Andererseits ist die Begriffsbildung auch sehr anschaulich: In der Perspektivenkonstruktion sieht man, dass alle Geraden, die "in Wirklichkeit" dieselbe Richtung haben, sich im perspektivischen Bild im selben Fluchtpunkt schneiden.

Mengenlehre

Kardinalzahlen

In der Mengenlehre wird die Größe von Mengen, auch Mächtigkeit genannt, durch so genannte Kardinalzahlen beschrieben. Bei endlichen Mengen lässt sich die Mächtigkeit z. B. der Menge {A, B, C} durch die Kardinalzahlen 3 angeben: Die Menge {A, B, C} hat drei Elemente. Um die Mächtigkeit unendlicher Mengen zu beschreiben hat Georg Cantor unendliche Kardinalzahlen eingeführt, die er mit dem hebräischen Buchstaben

\aleph

(Aleph) bezeichnet und durchnummeriert:

\aleph_0

\aleph_1

\aleph_2

, ....

Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist $\aleph_0$ , die erste unendliche Kardinalzahl. Mengen mit dieser Mächtigkeit nennt man abzählbar.

Im ersten Cantorschen Diagonalverfahren zeigt Georg Cantor, dass die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen dieselbe Mächtigkeit $\aleph_0$ haben.

Im zweiten Cantorschen Diagonalverfahren zeigt Georg Cantor, dass die Menge der reellen Zahlen eine größere Mächtigkeit besitzt als $\aleph_0$ : sie ist überabzählbar. Ihre Mächtigkeit ist die der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, $2^{\aleph_0}$ .

Ein im Rahmen der Mengenlehre nicht zu beantwortendes Problem ist die Kontinuumshypothese, ob die Mächtigkeit der reellen Zahlen mit der zweiten Kardinalzahlen $\aleph_1$ übereinstimmt. (Die Kontinuumshypothese oder ihre Negation kann als neues Axiom in der Mengenlehre verwendet werden.)

Die unendlichen Kardinalzahlen bilden ihrerseits wieder eine unendliche Folge: Da die Potenzmenge einer Menge stets eine größere Mächtigkeit hat als die Menge selbst, gibt es keine größte Kardinalzahl.

Ordinalzahlen

Eine weitere Möglichkeit, die Unendlichkeit zu quantifizieren, bieten die transfiniten Ordinalzahlen: Sie entsprechen einer Anordnung unendlich vieler Objekte. Ihre Arithmetik unterscheidet sich von der der Kardinalzahlen: Beispielsweise haben zwei Kopien der natürlichen Zahlen zusammen immer noch die Mächtigkeit $\aleph_0$ , aber die entsprechende Ordinalzahl $\omega+\omega$ ist größer als die zu den natürlichen Zahlen gehörende Ordinalzahl $\omega$ .

Zitate

„Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt. Das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend gewirkt. Das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff der Aufklärung bedürftig.“ (David Hilbert)

„So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten, welche in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Façon de parler...“ (Carl Friedrich Gauß)

„Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit – Beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.“ (Albert Einstein)
„Unser erkennender Geist spannt sich, indem er etwas erkennt, ins Unendliche aus.“ (Thomas von Aquin)
„Das Unendliche ist weit, vor allem gegen Ende.“ (Alphonse Allais)
„Finitum non capax infinitum – Das Endliche vermag das Unendliche nicht zu fassen.“ (John Calvin)

„Wogegen ich mich wehre, ist die Anschauung, dass die unendliche Zahlenreihe etwas Gegebenes sei, worüber es nun spezielle Zahlensätze und auch allgemeine Sätze über alle Zahlen der Reihe gibt“ (Ludwig Wittgenstein)

„Alles, worauf ein Mensch sich ernstlich einläßt, ist ein Unendliches.“ (Johann Wolfgang von Goethe)
„Was ist schon ein Mensch im Unendlichen?“ (Blaise Pascal)
„Das Unendliche ist dort, wo der Unsinn vernünftig wird.“ (Carl Friedrich von Weizsäcker)
„Ein weiterer Pluspunkt für die Mathematik: unser endlicher Verstand kann das Unendliche begreifen.“ (Donald Knuth)
„Das Unermessliche und Unendliche ist für den Menschen ebenso notwendig wie dieser kleine Planet, auf dem er lebt.“ (Dostojewski)

Siehe auch

Infinitesimal, Limes

potenzielle und aktuale Unendlichkeit

Null (Zahl), Kreiszahl $\pi$ (pi), Eulersche Zahl e

Georg Cantor, Bernard Bolzano, Kurt Gödel

Ewigkeit, Augustinus von Hippo, Äon (Theologie)

Referenzen

Literatur

Amir D. Aczel: Die Natur der Unendlichkeit. Mathematik, Kabbala und das Geheimnis des Aleph. rororo Taschenbücher, 2002 ISBN 3-499-61358-1
Herbert Beckert: Zur Erkenntnis des Unendlichen. Hirzel, Stuttgart 2001 ISBN 3-7776-1136-0 (Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig)
Albrecht Beutelspacher: Pasta all'infinito. Meine italienische Reise in die Mathematik. dtv Taschenbücher, 2001 ISBN 3-423-33069-4
Rudolf Taschner: Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff. Springer Verlag, 1995 ISBN 3-540-59093-5
Hans Lauwerier: Unendlichkeit. Denken im Grenzenlosen. Rowohlt, 1993.
Eli Maor: To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite. Birkhäuser, Stuttgart 1986.
Raymond Smullyan: Satan, Cantor und die Unendlichkeit. Insel-Verlag, Frankfurt 1997
David Hilbert: Über das Unendliche. Mathematische Annalen 95, 161–190, 1926. Digitalisierte Fassung

Videos

Weblinks

Mathematik

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