n-Tupel in der Mathematik

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Das n-Tupel ist ein Begriff der Mathematik. Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, im Gegensatz zu Mengen, deren Elemente keine festgelegte Reihenfolge haben. n-Tupel werden üblicherweise durch runde Klammern angegeben (hier für $n=3$, da drei Elemente im Tupel vorhanden sind):

$(a,b,c)$

Die Objekte werden als Elemente, Komponenten oder Einträge des n-Tupels bezeichnet. Dadurch, dass bei einem n-Tupel jedem seiner Elemente ein eindeutiger Platz zugeordnet ist, kann es auch mehrfach dasselbe Element enthalten. n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des n-Tupels. Diese Anzahl muss endlich sein. Im Fall eines 2-Tupels spricht man auch von einem geordneten Paar, für n = 3 von einem Tripel. Die entsprechenden, selten gebrauchten Wörter Quadrupel, Quintupel usw. gaben dem n-Tupel den Namen. Oft werden die Elemente eines n-Tupels mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert.

Manche Autoren sprechen auch von "Tupel" (ohne n); Albrecht Beutelspacher rät in seinem mathematischen Stilratgeber "Das ist o.B.d.A. trivial!" von dieser sprachlichen Nachlässigkeit ab.

Notationskonflikt: Oft werden auch offene Intervalle als (a,b) geschrieben. Ob ein Intervall oder ein Paar gemeint ist, ist aus dem Kontext zu ersehen.

Abgrenzung gegenüber Mengen

Ein n-Tupel ist von einer Menge zu unterscheiden. Bei einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich. Deswegen kann eine Menge ein und dasselbe Element niemals mehrfach enthalten. Sie kann es nur entweder enthalten, oder es nicht enthalten.

Für die Menge stehen geschweifte Klammern, die kennzeichnen, dass die Elemente ungeordnet, d.h. ohne Reihenfolge, sind.

(Es ist möglich, den Mengenbegriff so zu erweitern, dass ein Element "mehrmals" vorkommen kann. Siehe dazu Multimenge.)

Beispiele

Ist a ≠ b, so ist das Paar (a, b) verschieden von (b, a), dagegen ist die Menge {a, b} dieselbe Menge wie {b, a}.

"(90, 60, 90)" ist ein 3-Tupel bzw. ein Tripel.

n-Tupel von Zahlen (oder anderen gleichartigen Objekten) nennt man je nach Kontext auch Vektoren, wie z.B. Elemente des R³ oder allgemeiner Rⁿ. Je nachdem, ob man sie horizontal $(a,b,c)$ oder vertikal $\backslash begin\{pmatrix\}a\backslash \backslash b\backslash \backslash c\backslash end\{pmatrix\}$ schreibt, spricht man von Zeilen- oder Spaltenvektoren.

Man beachte jedoch, dass die lineare Algebra einen abstrakteren Vektorbegriff verwendet: Vektoren sind definiert als Elemente eines Vektorraums. Zwar ist der Rⁿ (mit der naheliegenden Struktur) ein Vektorraum, aber im Allgemeinen sind Vektoren im Sinne der linearen Algebra keine n-Tupel. Vektor im Sinne der linearen Algebra zu sein ist auch keine Eigenschaft eines einzelnen Objektes, sondern nur sinnvoll für ein Objekt als Teil einer Gesamtheit mit algebraischer Zusatzstruktur, eines Vektorraums.

Anwendungen

Der Begriff n-Tupel wird bei der Definition des kartesischen Produkts endlich vieler Mengen verwendet. In weiterer Folge wird dann der Begriff des kartesischen Produkts bei der Definition der Begriffe Relation, Funktion und Folge benötigt; n-Tupel ist daher ein sehr grundlegender Begriff der Mathematik.

Formale Definition

Für n-Tupel wird vor allem gefordert, dass zwei n-Tupel dann und nur dann gleich sind, wenn sie in allen entsprechenden Komponenten übereinstimmen:

$(a\_1,\; a\_2,\; \backslash dots,\; a\_n)\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; \backslash dots,\; b\_n)\; \backslash quad\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash quad\; a\_1\; =\; b\_1\backslash ,\backslash ,\; \backslash mathrm\{und\}\backslash ,\backslash ,\; a\_2\; =\; b\_2\backslash ,\backslash ,\; \backslash mathrm\{und\}\backslash ,\backslash ,\; \backslash dots\backslash ,\; a\_n\; =\; b\_n$.

Mehrere Definitionen derartiger n-Tupel sind üblich:

Definition des n-Tupels mit Hervorhebung der Nummerierung

Man fasst ein n-Tupel mit Einträgen aus einer Menge X (also einen n-stelligen "Vektor" mit Einträgen aus X) als Funktion von der Menge {1,...,n} in die Menge X auf. Ein n-Tupel ist also eine endliche Folge, d.h. eine Funktion einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Bei dieser Definition benötigt man zur Voraussetzung den Begriff der Funktion. Hierzu wird man z.B. zuerst geordnete Paare wie oben angegeben definieren, dann zweistellige Funktionen und Relationen als Mengen geordneter Paare, im nächsten Schritt n-Tupel als spezielle Funktionen (Folgen) und hierauf dann n-stellige Funktionen und Relationen als Mengen von n-Tupeln. Dies hat den Nachteil, dass nicht nur geordnete Paare und 2-Tupel unterschiedliche mathematische Objekte sind, sondern auch zweistellige und n-stellige Relationen (inkl. Funktionen) unterschiedlich strukturiert sind.

Induktive Definition ausgehend vom geordneten Paar

• Ein geordnetes Paar $\backslash left(a\_1,a\_2\backslash right)$ wird beispielsweise definiert als die Menge $\backslash lbrace\; a\_1,\; \backslash lbrace\; a\_1,a\_2\backslash rbrace\backslash rbrace\backslash !$ oder als die Menge $\backslash lbrace\; \backslash lbrace\{a\_1\backslash rbrace\}\; ,\; \backslash lbrace\; a\_1,a\_2\backslash rbrace\backslash rbrace\backslash !$
• Für $n\; >\; 2$ hat ein n-Tupel die Form $\backslash left(X,a\_n\backslash right)$, wobei $X$ ein (n − 1)-Tupel ist.

Diese Definition wird beispielsweise in verwendet und ist die am weitesten verbreitete. Sie gewährleistet nicht nur die eingangs angesprochene Hauptforderung an n-Tupel, sondern erlaubt es auch, den Relations- und Funktionsbegriff auf dem Begriff des n-Tupels aufzubauen. Sie hat allerdings den Nachteil, dass die bei der Bildung des n-Tupels intendierte Stellenzahl nicht als Information im Tupel enthalten ist. Aus einem solcherart definierten n-Tupel kann (im Unterschied zur ersten Definition!) nicht erschlossen werden, ob es als 2-Tupel, 3-Tupel, ..., (n − 1)-Tupel oder n-Tupel zu behandeln ist, denn es gehört ja allen diesen Gruppen an. Je nachdem, welcher Gruppe wir es zuordnen, fällt z.B. das Ergebnis für die Projektion auf die zweite Komponente des n-Tupels unterschiedlich aus – tatsächlich kommen sämtliche Komponenten außer der ersten hierfür in Frage. Eine Abänderung der Definition, welche diesen Nachteil vermeidet, ist leicht möglich. Beispielsweise kann man für n > 2 ein n-Tupel als ein Paar definieren, welche zum einen die Stellenanzahl n des n-Tupels enthält und zum anderen ein geordnetes Paar, dessen erste Komponente ein (n − 1)-Tupel ist, also:

$(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n)\; :=\; (((a\_1,\; \backslash dots,\; a\_\{n-1\}),\; a\_n),n)$

Induktive Definition ohne Verwendung des geordneten Paares

Eine Definition des n-Tupels ohne Voraussetzung des Begriffes des geordneten Paares findet sich beispielsweise in :

$n=0:\backslash quad\; ():=\backslash lbrace\backslash rbrace$

$n=1:\backslash quad\; (a):=\backslash lbrace\; (),\backslash lbrace\; a\; \backslash rbrace\; \backslash rbrace$

$n>1:\backslash quad\; (a\_1,\backslash ;\backslash dots\backslash ;a\_n):=\backslash lbrace\; (a\_1,\backslash ;\backslash dots\backslash ;a\_\{n-1\}),\backslash lbrace\; a\_n\; \backslash rbrace\backslash rbrace$

Nach dieser Definition ist das 2-Tupel $\backslash ;(a,b)$ die Menge $\backslash ;\backslash lbrace\; \backslash lbrace\; \backslash lbrace\; \backslash rbrace\; ,\backslash lbrace\; a\backslash rbrace\; \backslash rbrace\; ,\backslash lbrace\; b\backslash rbrace\; \backslash rbrace$. Dagegen ist das geordnete Paar $\backslash ;\backslash langle\; a,b\; \backslash rangle$ die Menge $\backslash ;\backslash lbrace\; \backslash lbrace\; a\backslash rbrace\; ,\backslash lbrace\; a,b\backslash rbrace\; \backslash rbrace$ oder $\backslash ;\backslash lbrace\; a\; ,\backslash lbrace\; a,b\backslash rbrace\; \backslash rbrace$, je nachdem, welche Definition des geordneten Paars zugrunde gelegt wird.

Bei dieser Definition des n-Tupels ist die Information über die Anzahl der Komponenten des n-Tupel enthalten, es gilt also die strengere Eigenschaft

$(a\_1,\; a\_2,\; \backslash dots,\; a\_n)\; =\; (b\_1,\; b\_2,\; \backslash dots,\; b\_m)\; \backslash quad\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash quad\; m=n\backslash ,\backslash ,\; \backslash mathrm\{und\}\backslash ,\backslash ,\; a\_1\; =\; b\_1\backslash ,\backslash ,\; \backslash mathrm\{und\}\backslash ,\backslash ,\; a\_2\; =\; b\_2\backslash ,\backslash ,\; \backslash mathrm\{und\}\backslash ,\backslash ,\; \backslash dots\backslash ,\; a\_n\; =\; b\_n$.

Literatur

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• Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Volume 9, Stochastic approximation - Zygmund class of functions. Kluwer Academic Publishers 1993. ISBN 1-55608-010-7.

Siehe auch: Mengenlehre, Komplexe Zahl, Vektor

Mengenlehre

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