Ein Trapez ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem

• zwei (gegenüberliegende) Seiten parallel sind,

oder (äquivalent) für das gilt:

• es gibt zwei Paare benachbarter Supplementwinkel (d.h., die Winkel ergänzen sich auf 180 Grad).

Eine der beiden parallelen Seiten wird oft als Basis des Trapezes bezeichnet, und die beiden benachbarten (im allgemeinen nicht-parallelen) Seiten als Schenkel.

Ein Viereck ist ein gleichschenkeliges Trapez, wenn es

• eine zu einer Seite orthogonale (senkrechte) Symmetrieachse (eine Seitensymmetrale) hat,

oder (äquivalent), wenn gilt:

• es gibt zwei Paare benachbarter gleich großer Winkel.

Für jedes gleichschenkelige Trapez gilt:

• die beiden Schenkel sind gleich lang
• es hat einen Umkreis, d.h., es ist ein Sehnenviereck

Parallelogramm, Rhombus (Raute), Rechteck und Quadrat sind spezielle Trapeze.
Rechteck und Quadrat sind überdies spezielle gleichschenkelige Trapeze.
Parallelogramme ohne rechten Winkel sind keine gleichschenkeligen Trapeze, obwohl auch bei ihnen die Schenkel gleich lang sind.

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Die Höhe h des Trapez ist der kürzeste Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten.

Jedes Trapez besitzt zwei Diagonalen, die sich schneiden.

Trapez1.png

$f\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; d^2\; -\; 2\backslash ,a\backslash ,d\backslash ,\backslash cos\backslash alpha\}\; =\; \backslash sqrt\{b^2\; +\; c^2\; -\; 2\backslash ,b\backslash ,c\backslash ,\backslash cos\backslash gamma\}$

	Formeln zum Trapez				Flächeninhalt	$A\; \backslash ,\; =\backslash ,\; \backslash frac\{a+c\}\{2\}\; \backslash cdot\; h$		Höhe	$h\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; b\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; d\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash delta$		Hilfsgröße	$s\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash frac\{a+b-c+d\}\{2\}$		Höhe	$h\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash frac\{2\}\{a-c\}\; \backslash sqrt\{s\; (s-a+c)\; (s-b)\; (s-d)\}$	valign="top"	Diagonalenlänge	$e\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; -\; 2\backslash ,a\backslash ,\; b\backslash ,\; \backslash cos\; \backslash beta\}\; =\; \backslash sqrt\{c^2\; +\; d^2\; -\; 2\backslash ,c\backslash ,d\backslash ,\; \backslash cos\; \backslash delta\}$		Seitenlängen	$a,\backslash ,b,\backslash ,c,\backslash ,d$		Größen der Innenwinkel	$\backslash alpha,\backslash ,\backslash beta,\backslash ,\backslash gamma,\backslash ,\backslash delta$

Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der heronischen Formel für die Dreiecksfläche herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem Kosinussatz.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. (Daraus folgt sofort, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind.) Die beiden nicht notwendig parallelen Seiten b und d (siehe Abbildung) sind dann gleich lang. Auch die beiden Diagonalen sind im gleichschenkligen Trapez gleich lang.

Die Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis, es handelt sich um ein Sehnenviereck. Das Trapez wird von der Höhe h, die durch den Umkreismittelpunkt M geht, in zwei spiegelsymmetrische Teile zerlegt.

Weblinks

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• http://www.mathe.braunling.de/Efiguren.htm
• http://www.mathe-formeln.de/index.php?site=2dflaeche
• http://www.mathepower.com/

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