Der Trägheitstensor eines Körpers gibt seine Trägheitsmomente, also die Trägheit des Körpers bezüglich Drehungen an. Er spielt damit für Drehungen die Rolle, die die träge Masse für lineare Bewegungen spielt.

Da unsymmetrische Körper für Drehungen in verschiedene Richtungen verschiedene Trägheitsmomente aufweisen (beispielsweise läßt sich die Drehung eines homogenen zigarrenförmigen Körpers leichter um seine Längsachse als um seine Querachse ändern), reicht – anders als bei der trägen Masse – für die Beschreibung des Trägheitsmoments eine einzelne Zahl nicht aus, sondern es muss ein Tensor verwendet werden.

Berechnung des Trägheitstensors

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Ist eine Gesamtmasse gegeben durch einzelne Massenpunkte, so ist der Trägheitstensor $I$ gegeben durch:

$I\; =$

\sum_{i} m_{i} \begin{pmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i y_i & -x_i z_i \\ -y_i x_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i z_i \\ -z_i x_i & - z_i y_i & x_i^2+y_i^2 \\ \end{pmatrix} bzw. in Komponentenschreibweise

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=I\_\{\backslash beta\backslash alpha\}=\; \backslash sum\_\{i\}\; m\_\{i\}\; (r\_\{i\}^2\; \backslash delta\; \_\{\backslash alpha\backslash beta\}$

- x_{i\alpha} x_{i\beta}) Hierbei bezeichnen $m\_i$ die Masse des Massenpunkts $i$, $x\_\{i1\}=x\_i$, $x\_\{i2\}=y\_i$ und $x\_\{i3\}=z\_i$ die Ortskoordinaten des jeweiligen Massenpunkts und $r\_i=\backslash sqrt\{x\_i^2+y\_i^2+z\_i^2\}$ seinen Abstand vom Ursprung. Die Indizes $\backslash alpha$ und $\backslash beta$ nehmen die Werte 1 bis 3 an, entsprechend den drei Raumdimensionen.

$\backslash delta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$ ist das Kronecker-Delta:

Ist die Masse kontinuierlich im Körper verteilt und die Massendichte $\backslash rho(\backslash vec\{r\})$ bekannt, so geht man zur Integration über:

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=\backslash int\_\{V\}\; \backslash rho(\backslash vec\{r\})(r^2\; \backslash delta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; -\; x\_\{\backslash alpha\}$

x_{\beta}) \,\mathrm{d}V

Man nennt die Diagonalelemente des Trägheitstensors Trägheitsmomente und die restlichen Elemente Deviationsmomente (sie bewirken bei Rotation durch Fliehkräfte ein Drehmoment normal zur Drehachse, man stelle sich z. B. eine Stange vor, die um eine Achse rotiert, die mit der Symmetrieachse der Stange einen spitzen Winkel einschließt).

Beispiel: Der homogene Würfel mit Kantenlänge 2a

Trägheitstensoren werden im Allgemeinen in kartesischen Koordinaten berechnet. Aus der Summe in der oben angegebenen Definition

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=I\_\{\backslash beta\backslash alpha\}=\; \backslash sum\_\{i\}\; m\_\{i\}\; (r\_\{i\}^2\; \backslash delta\; \_\{\backslash alpha\backslash beta\}$

- x_{i\alpha} x_{i\beta})

lässt sich bei konstanter Massenverteilung mit überall bekannter Dichte $\backslash varrho(r)$, also $dm\; =\; dV\; \backslash varrho\; (r)$ ein Integral machen. Das ist ein gängiger Trick in der Kontinuumsmechanik. Statt über die sehr sehr vielen Einzelmassen (Atome, Moleküle) zu summieren und ihren jeweiligen Abstand $r\_i$ zum Bezugspunkt zu berücksichtigen, geht man auf ein Integral der Form

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=I\_\{\backslash beta\backslash alpha\}=\; \backslash int\_\{V\}\; (r^2\; \backslash delta\; \_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; -\; x\_\{\backslash alpha\}\; x\_\{\backslash beta\})\; \backslash varrho(r)\; dV$

über. In dem Spezialfall, dass der Körper homogen ist, also über eine durchgehend konstante Dichte verfügt, kann man die Dichte als Konstante vor das Integral ziehen und erhält:

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=I\_\{\backslash beta\backslash alpha\}=\; \backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; (r^2\; \backslash delta\; \_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; -\; x\_\{\backslash alpha\}\; x\_\{\backslash beta\})\; dV$

Nun lassen sich die 6 (3 Haupt-, 3 Deviationsmomente) unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen. Hier wie auch im allgemeinen Fall ist zu beachten, dass der einzige intellektuelle Anspruch in der Bestimmung der Integrationsgrenzen liegt. Hier ist klar, dass in allen drei Richtungen von -a bis a integriert werden muss. Im Allgemeinen muss man einen Körper in Teilkörper mit geometrisch einfach beschreibbaren Formen zerlegen, dann ergibt sich die Beschreibung der Form durch Abhängigkeit der Integrationsgrenzen von den zu integrierenden Parametern (z.b. $A\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{b\}\; \backslash int\_\{0\}^\{(b-y)\}\; dx\; dy\; =\; b^2/2$ für ein in der Diagonale zerschnittenes Quadrat).

$I\_\{xx\}\; =\; \backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; (y^2\; +\; z^2)\; dV\; =\; \backslash varrho\; \backslash frac\{16\}\{3\}\; a^5$

$I\_\{yy\}\; =\; \backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; (x^2\; +\; z^2)\; dV\; =\; \backslash varrho\; \backslash frac\{16\}\{3\}\; a^5$

$I\_\{zz\}\; =\; \backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; (y^2\; +\; x^2)\; dV\; =\; \backslash varrho\; \backslash frac\{16\}\{3\}\; a^5$

$I\_\{xy\}\; =\; I\_\{yx\}\; =\; -\backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; yx\; dV\; =\; 0$

$I\_\{yz\}\; =\; I\_\{zy\}\; =\; -\backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; zy\; dV\; =\; 0$

$I\_\{zx\}\; =\; I\_\{xz\}\; =\; -\backslash varrho\; \backslash int\_\{V\}\; xz\; dV\; =\; 0$

und wenn man bedenkt, dass die Masse des Würfels $M\; =\; V\; \backslash varrho\; =\; (2a)^3\; \backslash varrho\; =\; 8a^3\; \backslash varrho$ ist, dann sieht der Tensor so aus:

$I\; =$

\frac{M}{8} \begin{pmatrix} \frac{16}{3}a^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{16}{3}a^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{16}{3}a^2 \\ \end{pmatrix} = \frac{2}{3} M a^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} =

\frac{2}{3} M a^2 E

wobei E die Einheitsmatrix ist.

Setzt man nun noch die Kantenlänge 2a = d, so ergibt sich

$I\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; M\; d^2\; E$

Berechnung von Trägheitsmomenten aus dem Trägheitstensor

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Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Ursprung (also anschaulich die Schwierigkeit, den Körper um diese Achse zu drehen) bekommt man aus dem Trägheitstensor folgendermaßen:

Ist $\backslash vec\; n$ ein Einheitsvektor (Vektor der Länge 1) in Richtung der Achse (also einer, der an der Achse entlang zeigt), so ist das zugehörige Trägheitsmoment

$I\_n\; =\; \backslash sum\_\{\backslash alpha=1\}^3\; \backslash sum\_\{\backslash beta=1\}^3\; I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; n\_\backslash alpha\; n\_\backslash beta=\backslash vec\; n\; ^T\; \backslash cdot\; \backslash left(\; I\backslash cdot\; \backslash vec\; n\; \backslash right)$

wobei $n\_\backslash alpha$ die Komponenten des Einheitsvektors sind. Insbesondere geben die Diagonalelemente $I\_\{11\}$, $I\_\{22\}$ und $I\_\{33\}$ die Trägheitsmomente um die Koordinatenachsen an.

Beispiel: Trägheitsmoment entlang der Diagonalen

Der Trägheitstensor sei

$I=\backslash mathrm\{\backslash left(\backslash begin\{matrix\}$

1 kg \cdot m^2 & 0 & 0\\ 0 & 2 kg \cdot m^2 & 0\\ 0 & 0 & 6 kg \cdot m^2 \end{matrix}\right)} und die Richtung der Achse sei gegeben durch den Normalenvektor

$\backslash vec\; n\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\backslash left(\backslash begin\{matrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{matrix\}\backslash right)$

(das ist gerade eine der Raumdiagonalen). Dann ist das Trägheitsmoment gegeben durch

$\backslash mathrm\{I\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; (1\; \backslash cdot\; 1\; kg\; \backslash cdot\; m^2\; \backslash cdot\; 1$

+ 1 \cdot 2 kg \cdot m^2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 kg \cdot m^2 \cdot 1) = 3 kg \cdot m^2}

Berechnung des Drehimpuls aus dem Trägheitstensor

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Für eine beliebige Winkelgeschwindigkeit $\backslash vec\; \backslash omega$ lässt sich der Drehimpuls durch Matrizenmultiplikation des Trägheitstensors mit dem Spaltenvektor der Winkelgeschwindigkeit berechnen:

$\backslash vec\; L\; =\; I\; \backslash \; \backslash vec\; \backslash omega$

Herleitung des Trägheitstensors

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Es gilt:

$\backslash vec\{L\}=\backslash vec\{r\}\backslash times\backslash vec\{p\}=\backslash vec\{r\}\backslash times(m\backslash cdot\backslash vec\{v\})=m\backslash cdot\backslash vec\{r\}\backslash times(\backslash vec\{\backslash omega\}\backslash times\backslash vec\{r\})$

Dabei ist $\backslash vec\{L\}$ der Drehimpuls des Teilchens, $\backslash vec\{r\}$ der Abstand vom Ursprung, $\backslash vec\{v\}$ seine Geschwindigkeit, $\backslash vec\{p\}$ der Impuls und $m$ die Masse. Dann gilt für die $i$-te Komponente des Drehimpulses:

$\backslash vec\{L\}\_i\; =\; (m\backslash cdot\backslash vec\{r\}\backslash times(\backslash vec\{\backslash omega\}\backslash times\backslash vec\{r\}))\_i$

$=m~\backslash varepsilon\_\{ijk\}~r\_j~\backslash varepsilon\_\{klm\}~\backslash omega\_l~r\_m$

$=m~\backslash varepsilon\_\{kij\}~\backslash varepsilon\_\{klm\}~r\_j~\backslash omega\_l~r\_m$

$=m~(\backslash delta\_\{il\}\backslash delta\_\{jm\}\; -\; \backslash delta\_\{im\}\backslash delta\_\{jl\})~r\_j~\backslash omega\_l~r\_m$

$=m~(\backslash delta\_\{il\}\backslash delta\_\{jm\}~r\_j~\backslash omega\_l~r\_m\; -\; \backslash delta\_\{im\}\backslash delta\_\{jl\}~r\_j~\backslash omega\_l~r\_m)$

$=m~(r\_j~\backslash omega\_i~r\_j\; -\; r\_j~\backslash omega\_j~r\_i)$

$=m~(\backslash vec\{r\}^2~\backslash omega\_i\; -\; r\_i~r\_j~\backslash omega\_j)$

$=\backslash underbrace\{m~(\backslash vec\{r\}^2~\backslash delta\_\{ij\}\; -\; r\_i~r\_j)\}\_\{=I\_\{ij\}\}\; \backslash omega\_j$

Dabei ist $\backslash varepsilon$ das Levi-Civita-Symbol und $\backslash delta$ das Kronecker-Delta. Außerdem wurde die Einsteinsche Summenkonvention benutzt.

Damit ist nun:

$I\_\{ij\}\; =\; m\backslash cdot(\backslash vec\{r\}^2~\backslash delta\_\{ij\}\; -\; r\_i~r\_j)$

Bei einem Körper aus mehreren Massepunkten muss über diese summiert oder integriert werden.

Eigenschaften des Trägheitstensors

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Der Trägheitstensor hat die Dimension eines Trägheitsmoments, kg·m².

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, also

$I\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=I\_\{\backslash beta\backslash alpha\}$

Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente

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Wählt man als Koordinatenachsen die Achse des größten und die des kleinsten Trägheitsmoments, sowie die auf beiden senkrecht stehende Achse, so ist der Trägheitstensor in diesen Koordinaten diagonal (sind alle Trägheitsmomente gleich, so können drei beliebige aufeinander senkrecht stehende Achsen gewählt werden). Diese drei Achsen nennt man Hauptträgheitsachsen, und die zugehörigen Trägheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Drehimpulse bei Rotation um diese Achsen können dann durch einfache Multiplikation des jeweiligen skalaren Trägheitsmoment mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor berechnet werden.

Die freie Rotation um eine feste Drehachse (ohne dass die Achse durch Lager festgehalten wird) ist für allgemeine Körper nur bei Rotation um ihre Hauptträgheitsachsen möglich. Dabei ist die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem größten und dem kleinsten Trägheitsmoment stabil; die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Trägheitsmoment ist dagegen labil.

Dreht sich der Körper nicht um eine Hauptträgheitsachse, so verläuft der Drehimpuls nicht in Richtung der Drehachse. Daher bleibt die momentane Drehachse nicht fest im Raum, sondern läuft auf der Oberfläche des sog. Rastpolkegels um die Drehimpulsachse herum. Der Körper führt dann eine Taumelbewegung (Nutation) aus.

Wirkt außerdem ein äußeres Drehmoment, so wird die Bewegung noch komplizierter. Man kann dies z. B. an einem Spielzeugkreisel beobachten: Zusätzlich zur einer – hier durch das äußere Drehmoment induzierten – Präzession um eine senkrechte Achse kann man durch einen kleinen Stoß eine überlagerte Nutationsbewegung erzeugen; während die Rotationsachse am Präzessionskegel entlangwandert, führt sie eine zusätzliche Taumelbewegung aus.

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Tensor momentu bezwładności