Das Trägheitsmoment (auch: Inertialmoment, engl. "moment of inertia") beschreibt in der Mechanik die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung der Rotationsbewegungen. Es ist das Äquivalent zur trägen Masse bei Translationsbewegungen und wird deswegen in der älteren Literatur auch Drehmasse genannt. Das Trägheitsmoment hängt von der Körperform, der Lage der Drehachse und der Massenverteilung ab. Es gilt nur in Bezug auf die jeweilige Drehachse.

Bedeutung

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Anschaulich ist ein Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung:

• Werden ein Fahrrad und ein Eisenbahnwagen auf dieselbe Geschwindigkeit beschleunigt, so ist intuitiv klar, dass für dieselbe Beschleunigung der Eisenbahnwagen kräftiger angeschoben werden muss als das Fahrrad. Die erforderliche Kraft hängt von der zu beschleunigenden trägen Masse ab.
• Bei Rotationsbewegungen liegt die Sache anders. Werden zwei Kugeln gleicher Masse aber unterschiedlichen Durchmessers – etwa aus Holz und aus Blei – zum Rotieren gebracht, wird ihre Massenverteilung um die Drehachse relevant. Je weiter die Massen von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist das Drehmoment um beide Kugeln in eine gleichschnelle Drehung zu versetzen. Für die größere Holzkugel ist so das größere Drehmoment nötig. Der Widerstand, den die Kugeln der Drehung entgegensetzen, wird durch das Trägheitsmoment beschrieben.

Mit einem einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments bei gleich bleibendem Drehimpuls veranschaulichen. Man versetzt sich auf einen Schreibtischstuhl, Arme und Beine ausgestreckt, in Drehung. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab – mit der Folge, dass die Drehbewegung schneller wird. Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung. Um den Effekt zu verstärken, kann man schwere Gegenstände, etwa Hanteln, in jede Hand nehmen. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird dies.

Ein weiteres Beispiel ist der Pirouetteneffekt aus dem Eiskunstlaufen. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse aus der Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an, dreht er sich schneller – ein erneutes Schwungholen ist nicht nötig.

Siehe auch: Drehimpulserhaltung

Formelzeichen und Einheit

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Als Zeichen für das Trägheitsmoment wird meist $I$ (zurückgehend auf das lateinische Wort iners (untätig, träge), $J$ oder $\backslash Theta$ (großes Theta) benutzt. Hier wird durchgehend $I$ verwendet.

Seine SI-Einheit ist $*=$kg m².

Berechnung

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Relevant ist die Massenverteilung des Körpers um die Drehachse.

Massenverteilung

Für einzelne Massenpunkte berechnet sich das Trägheitsmoment mit der Summe:

$I\; =\; \backslash sum\_i\; m\_i\; r\_i^2$

mit $m\_i$ für die Masse und $r\_i$ für den senkrechten Abstand des $i$-ten Teilchens von der Drehachse. Ist die Drehachse die $x$-Achse, so lautet das zugehörige Trägheitsmoment

$I\_x\; =\; \backslash sum\_i\; m\_i\; (y\_i^2\; +\; z\_i^2)$

und nach dem Übergang zum Integral mit dem Volumen $V$ des aus den Massenpunkten zusammengesetzten Körpers:

$I\; =\; \backslash int\_V\; r^2\backslash rho(\backslash vec\; r)\backslash mathrm\{d\}V$

$\backslash rho(\backslash vec\; r)$ ist die vom Ortsvektor abhängige Dichte.

Ist die Dichte konstant, vereinfacht sich die Berechnung zu

$I=\backslash rho\; \backslash int\_\{V\}\; r^2\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}V$

In diesem Fall spricht man von einer homogenen Masseverteilung. Weiter unten ist eine Beispielrechnung angegeben.

Trägheitstensor

Der Trägheitstensor $\backslash mathrm\backslash Theta$ eines Körpers stellt gewissermaßen eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes dar. Aus diesem lässt sich das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen, durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit $\backslash vec\; \backslash omega$ rotiert, so lautet die Formel

$I=\backslash frac\{1\}\{\backslash omega^2\}\backslash sum\_\{\backslash alpha=1\}^3\backslash sum\_\{\backslash beta=1\}^3\; \backslash Theta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash omega\_\backslash alpha\backslash omega\_\backslash beta$

oder in Matrixschreibweise

$I=\backslash frac\{1\}\{\backslash omega^2\}\backslash ,\backslash vec\backslash omega^T\backslash cdot\backslash mathrm\backslash Theta\backslash cdot\backslash vec\backslash omega$

Herleitung

Sei der rotierende Körper aus einzelnen Massepunkten aufgebaut. Für die Ortsvektoren $\backslash vec\; r\_i$ der Massepunkte soll ein kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, dessen Ursprung mit dem Schwerpunkt des Körpers zusammenfällt. Sei $\backslash vec\; r\_i$ der Ortsvektor des $i$-ten Massepunktes und $s\_i$ sein Abstand von der Drehachse, dann gilt

$s\_i=\backslash sqrt\{(\backslash vec\; r\_i)^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; \backslash omega\}\{\backslash omega\}\backslash cdot\backslash vec\; r\_i\backslash right)^2\}$

und somit für das Trägheitsmoment

$I=\backslash sum\_\{i\}m\_is\_i^2=\backslash sum\_\{i\}m\_i\backslash left((\backslash vec\; r\_i)^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; \backslash omega\}\{\backslash omega\}\backslash cdot\backslash vec\; r\_i\backslash right)^2\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{\backslash omega^2\}\backslash sum\_\{i\}m\_i\backslash left((\backslash vec\; \backslash omega)^2(\backslash vec\; r\_i)^2-\backslash left(\backslash vec\; \backslash omega\backslash cdot\backslash vec\; r\_i\backslash right)^2\backslash right)$

$=\backslash frac\{1\}\{\backslash omega^2\}\backslash sum\_\{\backslash alpha,\backslash beta=1\}^3\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{i\}m\_i\backslash left((\backslash vec\; r\_i)^2\backslash delta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}-r\_\{i\backslash alpha\}r\_\{i\backslash beta\}\backslash right)\backslash right\backslash \}\backslash omega\_\backslash alpha\backslash omega\_\backslash beta=\backslash frac\{1\}\{\backslash omega^2\}\backslash sum\_\{\backslash alpha,\backslash beta=1\}^3\; \backslash Theta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash omega\_\backslash alpha\backslash omega\_\backslash beta$

mit dem Trägheitstensor

$\backslash Theta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=\backslash sum\_\{i\}m\_i\backslash left((\backslash vec\; r\_i)^2\backslash delta\_\{\backslash alpha\backslash beta\}-r\_\{i\backslash alpha\}r\_\{i\backslash beta\}\backslash right)$.

Die Steiner-Regel

Steiner Regel.svg Ist das Trägheitsmoment $I\_\backslash mathrm\{S\}$ für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so kann mithilfe der Steiner-Regel das Trägheitsmoment $I$ für eine beliebige parallel verschobene Drehachse berechnet werden. Die Formel lautet:

$\backslash left.I=I\_\backslash mathrm\{S\}+md^2\backslash right.$

Dabei gibt $d$ den kürzesten Abstand (= senkrechter Abstand) von alter zu neuer Drehachse an. Die Gültigkeit dieser Formel lässt sich direkt aus der Berechnung für eine Massenverteilung beweisen.

Man kann die Steiner-Regel für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss die Steiner-Regel zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.

$I\_\backslash mathrm\{neu\}=I\_\backslash mathrm\{alt\}+m(d\_\backslash mathrm\{neu\}^2-d\_\backslash mathrm\{alt\}^2)$

Wenn der Trägheitstensor für einen Körper bekannt ist, so lassen sich mit diesem und der Steiner-Regel die Trägheitsmomente des Körpers für Rotationen um eine beliebige Drehachse im Raum berechnen.

Hauptträgheitsachsen

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Betrachtet man einen unregelmäßig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage der Drehachse. Dabei gibt es zwei Achsen, bezüglich derer das Trägheitsmoment des Körpers maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf beiden stehenden Achse die Hauptträgheitsachsen des Körpers.

Die Hauptträgheitsachsen fallen mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers zusammen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so sind alle Drehachsen in der Ebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z. B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche. Für den Fall, dass alle Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist jede Drehachse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Für alle regelmäßigen Körper wie Kugel, Tetraeder, Würfel, usw. ist demnach das Trägheitsmoment für jede Achse durch den Schwerpunkt gleich groß.

Siehe auch: Trägheitsellipsoid

Beispiele

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Trägheitsmomente von Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind angenähert kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.

Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

Trägheitsmomente einfacher geometrischer Körper

Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt auf der Drehachse auf die sich das Trägheitsmoment bezieht. Das Trägheitsmoment für Drehungen um andere Achsen kann man dann mit Hilfe der Steiner-Regel berechnen.

Abbildung	Beschreibung	Trägheitsmoment
Traegheit a punktmasse.png	Eine Punktmasse im Abstand $r$ um eine Drehachse.	$I\; =\; m\; \backslash cdot\; r^2$
Traegheit b zylindermantel.png	Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert.	$I\; =\; m\; \backslash cdot\; r^2$
Traegheit c vollzylinder.png	Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; m\; \backslash cdot\; r^2$
Traegheit d hohlzylinder2.png	Ein Hohlzylinder, der um seine Körperachse rotiert. Das „+“ sieht zunächst verblüffend aus, doch die Masse ist nicht wie beim Vollzylinder homogen verteilt, sondern liegt ausschließlich im Außenbereich. Ein Hohlzylinder hat also, bei gleicher Masse, im Vergleich zum Vollzylinder ein größeres Trägheitsmoment.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; m\; \backslash cdot\; (r\_2^2+r\_1^2)$
Traegheit e vollzylinder_2.png	Ein Vollzylinder, der um eine Achse rotiert, die senkrecht zur Symmetrieachse liegt.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 4\}\; m\; \backslash cdot\; r^2\; +\; \{1\; \backslash over\; 12\}\; m\; \backslash cdot\; l^2$
Traegheit f zylindermantel_2.png	Ein Zylindermantel der senkrecht zu seiner Körperachse rotiert.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; m\; \backslash cdot\; r^2\; +\; \{1\; \backslash over\; 12\}\; m\; \backslash cdot\; l^2$
Traegheit g stab1.png	Ein dünner Stab, der senkrecht zur Symmetrieachse rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit $r\backslash ll\; l$.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 12\}\; m\; \backslash cdot\; l^2$
Traegheit h stab2.png	Dünner Stab, der senkrecht zu seiner Körperachse um ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der Steiner-Regel auf den dünnen Stab.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 3\}\; m\; \backslash cdot\; l^2$
Traegheit i kugel1.png	Eine Kugelschale, die um den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke $d\; \backslash ll\; r$.	$I\; =\; \{2\; \backslash over\; 3\}\; m\; \backslash cdot\; r^2$
Traegheit j kugel1.png	Eine massive Kugel, die um den Mittelpunkt rotiert.	$I\; =\; \{2\; \backslash over\; 5\}\; m\; \backslash cdot\; r^2$
Traegheit k quader.png	Ein Quader, der um eine Achse rotiert, die parallel zu einer seiner Kanten liegt.	$I\; =\; \{1\; \backslash over\; 12\}\; m\; \backslash cdot\; (a^2\; +\; b^2)$

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel

Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der $z$-Achse verlaufen. Um das Integral

$I\; =\; \backslash rho\backslash int\_V\; (x^2+y^2)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}V$

auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x,y,z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten $r,\backslash vartheta,\backslash varphi$ ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

$x=r\backslash sin\backslash vartheta\backslash cos\backslash varphi$

$y=r\backslash sin\backslash vartheta\backslash sin\backslash varphi$

$z=r\backslash cos\backslash vartheta$

und der Funktionaldeterminanten

$\backslash mathrm\{d\}V=r^2\backslash sin\backslash vartheta\backslash ,\backslash mathrm\{d\}r\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash vartheta\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$

Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert

$I=\backslash rho\; \backslash int\_\{0\}^\{R\}\backslash !\backslash mathrm\{d\}r\backslash ,\backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash !\backslash mathrm\{d\}\backslash vartheta\; \backslash ,\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\backslash !\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; \backslash ,r^4\; \backslash sin^3\; \backslash vartheta$

Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und $\backslash varphi$ lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in

$I=\backslash frac\{2\}\{5\}\backslash pi\backslash rho\; R^5\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash sin^3\; \backslash vartheta\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash vartheta$

kann durch partielle Integration mit

$u=\backslash sin^2\; \backslash vartheta$

$v^\{\backslash prime\}\; =\; \backslash sin\; \backslash vartheta$

gelöst werden:

$\backslash int\_\{0\}^\{\backslash pi\}\backslash sin^3\; \backslash vartheta\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash vartheta=\backslash frac\{4\}\{3\}.$

Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:

$I=\backslash frac\{2\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^5\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}\backslash rho\; V\; R^2=\backslash frac\{2\}\{5\}M\; R^2$

Experimentelle Bestimmung

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Zur Messung eines Trägheitsmoments eines Körpers verwendet man einen Drehtisch. Dieser besteht aus einer Kreisscheibe, die um ihre Symmetrieachse drehbar ist und einer Schneckenfeder. Sie bewirkt bei einer Drehung der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment $D$, das direkt proportional zum Auslenkwinkel $\backslash phi$ ist: $D=-D\_r\backslash phi$. Die Proportionalitätskonstante $D\_r$ nennt man Direktionsmoment oder Richtmoment. Ihr Wert hängt von der Stärke der Feder ab. Die Scheibe führt nun harmonische Schwingungen mit der Schwingungsdauer

$T\_0=2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{I\_0\}\{D\_r\}\}$,

aus, wobei $I\_0$ das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Legt man nun zusätzlich einen Körper mit bekanntem Trägheitsmoment $I\_1$ auf die Scheibe, so ändert sich die Schwingungsdauer zu

$T\_1=2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{I\_0+I\_1\}\{D\_r\}\}$.

Aus der Differenz

$T\_1^2-T\_0^2=4\backslash pi^2\backslash frac\{I\_1\}\{D\_r\}$

lässt sich das Direktionsmoment $D\_r$ des Drehtisches bestimmen und aus obiger Formel für $T\_0$ erhält man dann das Trägheitsmoment $I\_0$ des Drehtisches. Legt man nun einen beliebigen Körper auf den Drehtisch, so kann man sein Trägheitsmoment $I$ bezüglich der Rotationsachse aus der gemessenen Schwingungsdauer

$T=2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{I\_0+I\}\{D\_r\}\}$

berechnen.

Siehe auch

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• Flächenträgheitsmoment
• Kreisel

Literatur

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• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8
• Ernst W. Otten: Repetitorium Experimentalphysik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, ISBN 3-540-62987-4
• Torsten Fließbach: Mechanik. 3. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0546-7
• Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. International Edition, 3. Auflage, Pearson/Addison Wesley, Upper Saddle River, N.J., 2002, ISBN 0-321-18897-7

Weblinks

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• Trägheitsmomente geometrischer Körper bei Matheplanet – Anleitungen zum Berechnen diverser Trägheitsmomente mit Beispielen.
• Umrechner für Trägheitsmomente – Kleines Programm um Trägheitsmomente in amerikanische Maßeinheiten und zurück zu rechnen.

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