In der Mathematik bezeichnet der Träger (manchmal auch Support) die „Nichtnullstellenmenge“ einer reellwertigen Funktion.

Definition

---

Der Träger von $f$ wird meist mit $\backslash operatorname\{supp\}(f)$ bezeichnet.

1. Sei $A$ ein topologischer oder metrischer Raum und $f:\; A\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ eine Funktion. Der Träger von $f$ besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der "Nichtnullstellenmenge" von $f$:

$$

\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}\{x\in A | f(x)\ne 0\}

2. Ist $f$ dagegen eine Distribution auf $U$ (offene Teilmenge von $\backslash mathbb\{R\}^d$), dann definiert man als Träger von $f$ das Komplement der größten offenen Teilmenge, auf der $f$ verschwindet:

$$

\operatorname{supp}(f) := U\setminus \cup\left\{ \omega\subset U\ \mathrm{ offen } : f|_{\mathrm{C}_0^\infty(\omega)} = 0\right\} Falls $f\; =\; T\_g$ eine reguläre Distribution ist, stimmt diese Menge mit dem Träger von $g$ überein.

Beispiele

---

Ist $f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ mit $f(x)\; =\; x$, dann ist $\backslash operatorname\{supp\}(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$, denn die Nichtnullstellenmenge von $f$ ist $\backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash left\backslash \{\; 0\; \backslash right\backslash \}$, deren Abschluss ganz $\backslash mathbb\{R\}$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist $f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ mit $f(x)\; =\; 1$, falls , sonst $0$, dann ist $\backslash operatorname\{supp\}(f)$ die Menge $\backslash left\backslash \{\; x\; :\; \backslash left|\; x\; \backslash right|\; \backslash leq\; 1\; \backslash right\backslash \}$.

Sei $U$ eine offene Teilmenge des $\backslash mathbb\{R\}^d$. Die Menge aller stetigen Funktionen von $U$ nach $\backslash mathbb\{R\}$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit $C\_0\; (U)$ bezeichnet wird.

Die Menge $C\_0^\backslash infty\; (U)$ aller glatten (unendlich oft differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in $U$ spielt als Menge der "Testfunktionen" eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution $\backslash delta\; (f)\; :=\; f(0)$ hat den Träger $\backslash left\backslash \{\; 0\; \backslash right\backslash \}$, denn mit $\backslash omega\; :=\; \backslash mathbb\{R\}^d\; \backslash setminus\; \backslash left\backslash \{\; 0\; \backslash right\backslash \}$ gilt: Ist $f$ aus $C\_0^\backslash infty\; (\; \backslash omega\; )$, dann ist $\backslash delta\; (f)\; =\; 0$.

Topologie | Analysis

Nosič funkce | Support (mathematics) | Носитель функции