Torus

torus.jpg Ein Torus (Plural: Tori) ist ein Körper, der die Form eines Schwimmreifens besitzt.

Üblicherweise bezeichnet man mit Torus die Oberfläche des Reifens, während man den gefüllten Reifen als Volltorus bezeichnet.

Es gibt zwei Arten von Tori:

Eingebettete Tori, d.h. Teilmengen des Raumes
Flache Tori, die als Quotientenräume beschrieben werden können.

Aus topologischer Sicht unterscheiden sie sich nicht, betrachtet man sie aber als riemannsche Mannigfaltigkeiten, untersucht man also Abstände und Krümmung, so sind sie verschiedene Objekte.

Bild:MUFFIL-1 Verheftung und Form des 2-Torus.png Bild:FLSCFLZF X konstant Y variabel.jpg

Eingebettete Tori

Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einem Kreis mit Radius $R$ den Abstand $r haben.$

Toruskoordinaten

Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d.h. sie besitzt 1 Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man kann sich die Oberfläche durch einen Kreis entstanden vorstellen, der um eine Achse, die in der Kreisebene liegt, rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Den Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2π.

Toruskoordinaten.PNG

Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist ( $\vec X$ ist hier der Ortsvektor)

$\sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}$

Volumen und Oberfläche

Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten

$\vec n \ = \ \frac{d\vec X}{dt} \ \times \ \frac{d\vec X}{dp} \ = \ R \cdot r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix} \ + \ r^2 \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos^2(p) \\ \sin(t) \cdot \cos^2(p) \\ \sin(p) \cdot \cos(p) \end{pmatrix}$

Das Flächenelement ist

$dA = |\vec n| \cdot dt \cdot dp = r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot dt \cdot dp$

Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:

$A_O = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} dA = 4\pi^2 \cdot R \cdot r$

Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzen wir statt r die Variable r' ein und lassen sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:

$V = \int_{r'=0}^r O(r') dr' = 4\pi^2 \cdot R \ \int_{r'=0}^r r' dr' = 2\pi^2 \cdot R \cdot r^2$

Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche auch ohne Integration mittels der Guldinschen Regel berechnen.

Flache Tori

FLSCFLZ3 Flach Schlauch Flach Zylinder.jpg

Ein flacher Torus kann beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen $\mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w)$ für zwei linear unabhängige Vektoren $v,w\in\mathbb R^2$ beschrieben werden. Im Spezialfall $v=(1,0)$ und $w=(0,1)$ erhält man den Quotienten $\mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2$ .

Diese Tori heißen flach, weil ihre Metrik lokal der Metrik der Ebene entspricht und ihre Krümmung deshalb verschwindet.

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen sind (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori.

Torustopologie

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Der Torus als Kern eines Polynoms

Der Torus lässt sich auch darstellen als $\left\{\left(x,y,z\right)|\left(R^2-r^2\right)^2+2R^2\left(z^2-x^2-y^2\right)-2r^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=0\right\}$ .

Bemerkung zur möglichen Herleitung: $\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2=r^2$

Höherdimensionale Tori

Beim 3-dimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen 6 gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen 8 gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der $n$ -dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel ^*^n, dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ darstellen.

WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png

Das (n+1) - dimensionale "Volumen" eines n-Torus ist

$2 \cdot R \cdot r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ ,

die n - dimensionale "Oberfläche"

$2 \cdot n \cdot R \cdot r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ .

Siehe auch: Rotationskörper

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