Topologischer Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Topologie

ist Spezialfall von

Mengensystem

umfasst als Spezialfälle

topologischer Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Er besteht aus einer beliebigen Menge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.

Definition

Eine Topologie ist eine Familie

\mathfrak{T}

von Teilmengen der Grundmenge X, die als offen bezeichnet werden, so dass folgende Axiome erfüllt sind:

Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement eine offene Menge ist, heißt abgeschlossen.

Eine Topologie $\mathfrak{T}_1$ ist feiner als eine Topologie $\mathfrak{T}_2$ , wenn jede offene Menge von $\mathfrak{T}_2$ auch offen in $\mathfrak{T}_1$ ist. $\mathfrak{T}_2$ heißt dann gröber als $\mathfrak{T}_1$ .

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Umgebungen

Ein wesentlicher Begriff in topologischen Räumen ist derjenige der Umgebung. Eine Teilmenge U eines topologischen Raumes

(X,\mathfrak{T})

heißt Umgebung des Punktes x aus X, falls eine offene Menge

O

mit

x\in O\subset U

existiert. Das System der Umgebungen von x wird oft mit

\mathfrak{U}(x)

bezeichnet. Für die Umgebungen gelten folgende Eigenschaften:

Ist $U$ in $\mathfrak{U}(x)$ und $U\subset U'\subset X$ , so ist auch $U'$ in $\mathfrak{U}$ .
Ist $U_j\in\mathfrak{U}(x)$ für $1\leq j\leq n$ , so gilt auch $\bigcap_{j=1}^{n} U_j\in\mathfrak{U}(x)$ .
Ist $U\in\mathfrak{U}(x)$ , so gilt $x\in U$ .
Zu jedem $U$ in $\mathfrak{U}(x)$ existiert ein $V$ in $\mathfrak{U}(x)$ , sodass $U\in\mathfrak{U}(y)$ für jedes $y$ in $V$ gilt.

\mathfrak U(x)

ist ein Filter und wird deshalb auch Umgebungsfilter genannt.

Ordnet man dagegen jedem Punkt x einer Menge X ein Mengensystem $\mathfrak{U}(x)$ zu, so dass obige Bedingungen erfüllt sind, so gibt es eine eindeutig bestimmte Topologie auf X, so dass für jedes x das System $\mathfrak{U}(x)$ das Umgebungssystem von x ist. Eine Menge ist in diesem Fall genau dann offen, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Beispiele

Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien:
1. Die indiskrete (oder chaotische oder Klumpen-) Topologie, die nur die leere Menge und die Grundmenge enthält.
2. Die diskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält.
Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.
Als etwas ungewöhnlicheres Beispiel existiert auf einer unendlichen Menge $M$ (z. B. der Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen) die kofinite Topologie: Offen sei die leere Menge sowie jede Teilmenge von $M$ , deren Komplement nur endlich viele Elemente enthält.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.

Erzeugung topologischer Räume

Jeder Teilmenge Y der Grundmenge X einer bestehenden Topologie kann eine Unterraumtopologie zugeordnet werden. Dabei sind die offenen Mengen gerade die Schnitte der offenen Mengen der bestehenden Topologie mit der Teilmenge Y.
Bei jeder Familie von topologischen Räumen kann dem Produkt der Grundmengen die Produkttopologie zugeordnet werden. Bei endlichen Produkten werden die offenen Mengen durch die Produkte der offenen Mengen gebildet.
Eine Quotiententopologie entsteht durch „Verkleben“ von Topologischen Räumen.

Literatur

Klaus Jänich: Topologie. 6. Auflage, Springer, Berlin 1999, ISBN 3540653619
Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
Horst Schubert: Topologie. Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006

Siehe auch

Raum (Mathematik)

Topologie