Die Theorie der Felder und Wellen, von vielen auch Theoretische Elektrotechnik genannt, beschäftigt sich mit der ingenieursmäßigen Betrachtung von elektromagnetischen Feldern und Wellen. Physikalisch werden elektromagnetische Felder und Wellen durch die Elektrodynamik beschrieben.

Anwendungen

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In vielen Bereichen der Elektrotechnik ist ein Verständnis beziehungsweise ein tieferer Einblick in die Theorie der Felder und Wellen erforderlich. In der Energietechnik sind es die Gebiete Hochspannungstechnik, Elektrische Maschinen und Energieversorgung die sich insbesondere mit Feldern auseinandersetzen müssen. Die Nachrichtentechniker brauchen insbesondere auf dem Gebiet der Hochfrequenztechnik Kenntnisse über die physikalischen Vorgänge von Wellen. Auch die Mikroelektronik braucht sie auf dem Gebiet integrierte Schaltungen. Ebenso wichtig ist sie für elektrische RLC-Netzwerke.

Die Elektrostatik

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Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im antiken Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde mit dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Bei Experimenten mit zum Beispiel dem Elektroskop oder Elektrometer konnte festgestellt werden, dass es zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung gibt. Die eine Art nennt man positive und die andere negative Ladung. Des weiteren wurde festgestellt, dass geladene Körper Kräfte aufeinander ausüben. Dabei stoßen sich gleichnamige Ladungen ab, während sich ungleichnamige Ladungen anziehen.

Viele Experimente zeigten, dass elektrische Kraftwirkungen räumlich nicht lokalisiert sind. M. Faraday gelang es erstmals physikalische Felder zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge heranzuziehen. J. C. Maxwell gelang die mathematische Charakterisierung mit mathematisch skalaren und vektoriellen Feldern. Zunächst wurden diese physikalischen Felder mit kleinen Probekörpern ausgemessen. Die physikalischen Systeme wurden dabei "feldmäßig" gedeutet durch Energie-Impuls-Transporte vergleichbar mit Feder-Masse-Systemen im Gravitationsfeld.

$\backslash mathrm\{d\}E=\backslash underbrace\{\backslash vec\; v\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; p\}\_\{\backslash mathrm\{Energie\backslash \; des\backslash \; Probek\backslash ddot\; orpers\}\}+\backslash underbrace\{(-F)\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; r\}\_\{\backslash mathrm\{Energie\backslash \; des\backslash \; physikalischen\backslash \; Feldes\}\}$

C. A. de Coulomb stellte mit der nach ihm benannten Drehwaage die Größen in folgenden Zusammenhang. Die Kraft nennt man Coulomb-Kraft. Durch sie wird die Fernwirkung der Ladung Q auf die Probeladung q beschrieben.

$\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)=\backslash gamma\backslash cdot\backslash frac\{Q\backslash cdot\; q\}\{r^2\}\backslash ,\backslash vec\; e\_r$

Die Interpretation des elektrischen Feldes im Sinne des Nahwirkungsprinzips erreicht man durch Einführung eines neuen Feldes. Dem physikalischen elektrischen Feld wird weiteres vektorielles mathematisches Feld zugeordnet.

Satz von H. L. F. von Helmholtz: ein (mathematisches) vektorielles Feld (mit bestimmten Eigenschaften) wird i.w. durch das zugeordnete skalare Feld div(.) und das vektorielle Feld rot(.) eindeutig festgelegt.

Das legt nahe, dass $\backslash vec\; D$ ein wirbelfreies Quellenfeld ist. Das Maß für die Quellen ist div(.) und das Maß für die Wirbel ist rot(.).

$\backslash mathrm\{div\}(\backslash vec\; D)(\backslash vec\; r):=\backslash rho(\backslash vec\; r)\backslash qquad\; \backslash mathrm\{rot\}\backslash vec\; D:=0$

Poisson-Differentialgleichung

Die nach S. D. Poisson benannte Poisson-Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Ladungsdichteverteilung ρ und dem von ihr erzeugten elektrischen Potential $\backslash varphi$ für den Fall, dass $\backslash varepsilon$ über den Raum konstant ist.

$\backslash triangle\backslash varphi(\backslash vec\; r)=-\backslash frac\{\backslash rho(\backslash vec\; r)\}\{\backslash varepsilon\}$

Laplace-Differentialgleichung

Für den ladungsfreien Raum folgt aus der Poisson-Differentialgleichung die nach P. S. M. de Laplace benannte Laplace-Differentialgleichung.

$\backslash triangle\backslash varphi(\backslash vec\; r)=0$

Lösung der Differentialgleichungen

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Die schwierigste Aufgabe für den Ingenieur ist es diese Differentialgleichungen geeignet zu lösen. Wichtig ist zu erkennen welche geeigneten Vereinfachungen getroffen werden können, um ans Ziel zu gelangen.

Der Ingenieur bedient sich vielfach numerischer Verfahren.

Eindeutigkeitssatz

(G. Wunsch, S. 122): "Die große praktische Bedeutung eines Eindeutigkeitssatzes liegt darin, dass es unwesentlich ist, welche Lösungsmethode man zur Lösung der Poissonschen Differentialgleichung verwendet.

Wenn es gelingt, auf irgendeine Weise (zum Beispiel durch ein "Probierverfahren" auf der Grundlage eines mathematisch nicht weiter legitimierten Lösungsansatzes) eine (partikuläre) Lösung einer Differentialgleichung zu finden, die die geforderten Randwerte annimmt, so ist damit die einzige Lösung des Problems gefunden. Es ist dann unwichtig, wie diese Lösung im einzelnen ermittelt wurde."

Weitere Verfahren zur Lösung der Potentialgleichungen

Separation der Variablen: der räumliche Bereich G und der Laplacesche Operator werden auf nicht-kartesische Koordinaten bezogen, so dass die Koordinatenflächen zu Randflächen von G werden (wenigstens approximativ).

Produktansatz: nach der Separation wird in diesen Koordination ein Ansatz der folgenden Form gemacht.

$\backslash varphi(x,y,z)=\backslash varphi\_x(x)\backslash cdot\backslash varphi\_y(y)\backslash cdot\backslash varphi\_z(z)$

Ausnutzung bekannter Lösungen der Poisson- beziehungsweise Laplace-Differentialgleichungen

• Überlagerung von Elementarfeldern
• Spiegelungsmethode
• Kelvin Transformation und konforme Abbildungen
• Funktionaltransformation

Spezialfälle

Multipolentwicklung

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

$\backslash varphi(\backslash vec\; r)=\backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash ,\backslash varepsilon\_\{0\}\backslash ,\; \backslash varepsilon\_\{rel\}\}\backslash iiint\_V\backslash frac\{\backslash rho(\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r-\backslash vec\{\backslash tilde\; r\}\backslash Vert\}\backslash ;d\backslash tilde\{V\}$

Taylorreihen Entwicklung von $\backslash frac\{1\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r-\backslash vec\{\backslash tilde\; r\}\backslash Vert\}$ nach Potenzen von $\backslash frac\{1\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r\backslash Vert\}$

$\backslash varphi(\backslash vec\; r)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash ,\backslash varepsilon\_\{0\}\; \backslash ,\backslash varepsilon\_\{rel\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash underbrace\{\backslash frac\{q\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r\backslash Vert\}\}\_\{\backslash mathrm\{Monopol\}\}\; +\; \backslash underbrace\{\backslash frac\{\backslash vec\; r\backslash cdot\; \backslash vec\; p\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r\backslash Vert^3\}\}\_\{\backslash mathrm\{Dipol\}\}\; +\; \backslash underbrace\{\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i,j\}Q\_\{ij\}\; \backslash frac\{x\_\{i\}\; x\_\{j\}\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r\backslash Vert^5\}\}\_\{\backslash mathrm\{Quadrupol\}\}\; +\; \backslash ldots\backslash right)$

Hierin ist $q$ die Gesamtladung, $\backslash vec\; p$ das Dipolmoment und $Q\_\{ij\}$ das Quadrupolmoment.

Es ist:

Die Gesamtladung (Monopolmoment):

$q\; =\; \backslash iiint\_V\; \backslash rho(\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\; \backslash ;d\backslash tilde\{V\}$

Das Dipolmoment:

$\backslash vec\; p\; =\; \backslash iiint\_V\; \backslash rho(\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\; \backslash vec\{\backslash tilde\; r\}\; \backslash ;d\backslash tilde\{V\}$

Das Quadrupolmoment:

$Q\_\{ij\}\; =\; \backslash iiint\_V\; \backslash rho(\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\; (3\; \backslash tilde\{x\_\{i\}\}\; \backslash tilde\{x\_\{j\}\}\; -\; \backslash delta\_\{ij\}\; \backslash tilde\{r\}^2)\; \backslash ;d\backslash tilde\{V\}$

Das Strömungsfeld

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[[Bild:Stroemungsfeld platte.jpg|thumb|300px|Strömungsfeld auf einer Platte

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1 Spannungsquelle
2 Zuleitung zur Platte
3 Elektron
4 Strömungslinie
5 Platte

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Die Elektronen nehmen nicht nur den direkten Weg auf der Platte, sondern ihre Bahnen verteilen sich auf der Platte. Sie werden mittels den Strömungslinien dargestellt.
Auf direktem Weg zwischen den Zuleitungen fließt am meisten Strom, daher sind dort die Strömungslinien näher beieinander. ]]

In einem drahtförmigen Leiter wird angenommen, dass die Stromdichte konstant ist. Das heißt an jedem Punkt fließt gleich viel Strom bezogen auf die Fläche. Aufgrund komplizierteren geometrischer Anordnung können jedoch ungleichmässige Stromverteilungen auftreten. Diese werden mit einem Vektorfeld, dem Strömungsfeld beschrieben.

Das Strömungsfeld kann durch Stromlinien ( Bahn eines Ladungsträgers ) veranschaulicht werden. Stellen an denen die Stromlinien nahe beieinander liegen ist die Stromdichte gross. Stromlinien können sich nicht schneiden.

Jedem Punkt im Strömungsfeld wird ein Stromdichtevektor $\backslash vec\; J$ zugeordnet:

Richtung von $\backslash vec\; J$ : Strömungsrichtung

Betrag von $\backslash vec\; J$ : $|\backslash vec\; J|\; =\; \backslash frac\{\; dI\; \}\{\; dA\; \}$

Die Ursache des Strömungsfeld ist ein Potentialunterschied. Dieser wird mit einem Potentialfeld (Skalarfeld) beschrieben. Punkte gleichen Potentials bilden Potentaillinien die zur veranschaulichung des Potentialfeldes dienen.

Ein Potentialunterschied übt eine Kraftwirkung auf die Ladungsträger aus. Diese wird mit der el. Feldstärke $\backslash vec\; E$ beschrieben:

Richtung von $\backslash vec\; E$ : sekrecht zur Potentiallinie und zeigt in Richtung der stärksten Potentialabnahme

Betrag von $\backslash vec\; E$ : $|\backslash vec\; J|\; =\; -\backslash frac\{\; dV\; \}\{\; dn\; \}$

Ein Strömungsfeld lässt sich somit auch mit einem Vektorfeld von Feldstärkenvektoren beschreiben. In isotropen Stoffen ist die Stromdichte $\backslash vec\; J$ und Feldstärke $\backslash vec\; E$ gleichgerichtet. Sie sind über die spezifische Leitfähigkeit $\backslash sigma$ oder den spezifischen Widerstand $\backslash rho$ verknüpft:

$\backslash vec\; J\; =\; \backslash sigma\; \backslash vec\; E\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{\backslash rho\}\; \backslash vec\; E$

Diese Beziehung ist das Ohmsches Gesetz in Elementarform.

Der Strom und die Spannung lässt sich im Strömungsfeld über folgende Beziehungen berechnen:

$I\; =\; \backslash int\_A\; \backslash vec\; J\; \backslash cdot\; dA$

im homogenen Feld: $I\; =\; J\; A\backslash$

$U\_\{ab\}\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash vec\; E\; \backslash cdot\; ds$

im homogenen Feld: $U\; =\; E\; l\backslash$

Magnetische Felder in statischer Näherung

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Verallgemeinerung Biot-Savart-Laplace Gesetz

Das Biot-Savart-Laplace-Gesetz (siehe: Biot-Savart-Gesetz) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ladungsstromdichteverteilung $\backslash vec\; J$ und dem von ihr erzeugten Magnetfeld $\backslash vec\; B$:

$\backslash vec\; B(\backslash vec\; r)=\backslash frac\{\backslash mu\}\{4\backslash cdot\backslash pi\}\backslash iiint\_V\backslash frac\{\backslash vec\; J(\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\backslash times(\backslash vec\; r-\backslash vec\{\backslash tilde\; r\})\}\{\backslash Vert\backslash vec\; r-\backslash vec\{\backslash tilde\; r\}\backslash Vert^3\}\backslash ;d\backslash tilde\{V\}$

Hilfsgröße $\backslash vec\; A$

$\backslash triangle\backslash vec\; A=-\backslash mu\backslash cdot\backslash vec\; J(\backslash vec\; r)$

Coulomb-Eichung

$\backslash mbox\{div\}\backslash ;\backslash vec\; A=0$ aber: $\backslash vec\; B=\backslash mbox\{rot\}\backslash ;\backslash vec\; A$

Das Induktionsgesetz

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$U\; =\; -L\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}I\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}$
$U\; =\; -N\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash phi\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}$

Die vollständigen Maxwellschen Gleichungen

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Mit den vollständigen Maxwellschen Gleichungen lassen sich alle Felder und Wellen der Theoretischen Elektrotechnik beschreiben. Sie lassen sich mit dem Satz von Gauß und Stokes sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise ausdrücken.

Lorenz-Eichung

Benannt nach dem dänischen Physiker Ludvig V. Lorenz.

$\backslash mbox\{div\}\backslash ;\backslash vec\; A+\backslash mu\backslash cdot\backslash varepsilon\backslash cdot\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\{\backslash partial\; t\}=0$

Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor zeigt in die Richtung des Energieflusses einer elektromagnetischen Welle. Er ist nach John Henry Poynting benannt. Siehe auch: Poynting-Robertson-Effekt.

$\backslash vec\; S=\backslash vec\; E\backslash times\backslash vec\; H$

Materialgleichungen

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Die Beziehungen zwischen $\backslash vec\; D$ und $\backslash vec\; E\backslash qquad\backslash vec\; B$ und $\backslash vec\; H\backslash qquad\backslash vec\; J$ und $\backslash vec\; E$ werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben.

Literatur

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• G. Wunsch, H.-G. Schulz: Elektromagnetische Felder. VEB Verlag Technik, Berlin 1996, ISBN 3-341-01155-2
• K. Simonyi: "Theoretische Elektrotechnik". J.A. Barth Verlag, Leipzig 1993
• K. Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: "Theoretische Elektrotechnik". Springer, Berlin Heidelberg New York, 2005 ISBN 3-540-20792-9
• P. Leuchtmann: Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie. Pearson Studium, München 2005, ISBN 3-8273-7144-9

Weblinks

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• http://www.tet.uni-hannover.de/education/vorlesungen/tet/tet2.htm - Materialien zur Vorlesung "Theoretische Elektrotechnik"
• http://www.hsu-hh.de/tet/ - Theoretische Elektrotechnik und Numerische Feldberechnung an der Helmut Schmidt Universität - Universität der Bundeswehr Hamburg

Theoretische Elektrotechnik