Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik.

Terme stehen immer für mathematische Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Mengen. Mathematische Ausdrücke, die wahr oder falsch sein können, wie eine Gleichung oder eine Ungleichung, sind dagegen keine Terme.

Beispiele:

• $1\; \backslash ,\backslash !$

• $2(ab)^3+c\; \backslash ,\backslash !$

• $\backslash frac\{xy\}\{4\}$

Gegenbeispiele (keine Terme):

• $9\; >\; 5$

• $y\; =\; 2x\; +\; 4$

• $a\; \backslash in\; \backslash \{a\; |\; a\; \backslash notin\; a\backslash \}$

Variablen in Termen

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Treten in einem Term Variablen auf, wie $a,\; b\; \backslash ,\backslash !$ oder $x,y\; \backslash ,\backslash !$ in obigen Beispielen, so ist zusätzlich anzugeben, aus welcher Grundmenge diese Variablen zu wählen sind. Durch das Einsetzen von Elementen der Grundmenge erhält der Term einen konkreten Wert.

Zu beachten ist, dass der Term nicht unbedingt für alle Elemente der Grundmenge definiert sein muss; so ist beispielsweise für eine Funktion $f:\; \backslash R\backslash to\backslash R$ und $x\backslash in\backslash R$ der Term $\backslash frac\{1\}\{f(x)\}$ nur für jene $x\; \backslash ,\backslash !$ definiert, für die $f(x)\backslash ne\; 0$ gilt; jene Teilmenge der Grundmenge eines Termes, für die der Term wohldefiniert ist, wird als Definitionsmenge des Termes bezeichnet.

Anwendungen

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Terme mit Variablen werden beispielsweise in Rechenvorschriften oder Formeln verwendet. So lautet eine Faustformel zum Ausrechnen des Anhalteweges (Bremsweg plus Reaktionsweg) eines Autos $\backslash left(\backslash frac\{x\}\{10\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{x\}\{10\}+3\backslash right)$, wobei in diesem Term $x$ die Geschwindigkeit des Autos in km pro Stunde bedeutet. Wenn ein Auto zum Beispiel 160 km/h fährt, liefert die Formel $\backslash left(\backslash frac\{160\}\{10\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{160\}\{10\}+3\backslash right)$ einen Anhalteweg von 304m.

Terme können auch zur Definition der Zuordnungsvorschrift einer Funktion verwendet werden; das Beispiel des Anhalteweges definiert etwa die Funktion $f\backslash colon\; \backslash R^+\_0\; \backslash to\; \backslash R^+\_0$, $x\backslash mapsto\backslash left(\backslash frac\{x\}\{10\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{x\}\{10\}+3\backslash right)$.

Wie gesagt sind Terme selbst weder wahr noch falsch; es sind Symbole für Zahlen oder andere mathematische Objekte. Sie können aber zu mathematischen Aussagen wie Gleichungen und Ungleichungen zusammengefügt werden; solche Aussagen sind dann nach Einsetzen aller Variablen entweder wahr oder falsch.

Algebraische Umformungen

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Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x\; -\; 5)(x\; +\; 5)\; +\; 5(x\; +\; 3)\; \backslash ,\backslash !$:   Ausmultiplizieren

$=x^\{2\}\; -\; 25\; +\; 5x\; +\; 15\; \backslash ,\backslash !$:   Gleichartige Ausdrücke zusammenfassen

$=x^\{2\}\; +\; 5x\; -\; 10\; \backslash ,\backslash !$

Solche algebraischen Umformungen sind von Äquivalenzumformungen für Gleichungen oder Ungleichungen zu unterscheiden. Algebraische Umformungen lassen den Wert eines Termes unverändert, Äquivalenzumformung ändern hingegen die Werte der beteiligten Terme, müssen aber den Wahrheitswert der Aussage unverändert lassen.

Term und Ausdruck

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Der Begriff Term ist mit dem Begriff Ausdruck in formalen Sprachen verwandt. Während aber ein Ausdruck in einer formalen Sprache formal definiert ist, ist Term ein eher unscharf definierter Begriff. Da die Symbolik der Mathematik nicht fix definiert, sondern beliebig erweiterbar ist, ist auch Term ein erweiterbarer Begriff.

Durch Einführung zusätzlicher Definitionen kann eine vorher sinnlose Symbolkette eine Bedeutung bekommen; so kann beispielsweise je nach Zusammenhang die Symbolkette $\backslash R^\backslash R$ sinnlos sein oder auch ein sinnvoller Term für die Menge aller Funktion von $\backslash R$ nach $\backslash R$ sein.

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