Ein Tensor ist in der Mathematik ein geometrisches, unter Koordinatentransformationen invariantes Objekt, das aus Vektoren und/oder linearen Abbildungen aufgebaut ist.

Es gibt eine Hierarchie komplexer werdender Tensoren. So sind z. B. Tensoren 0. Stufe Skalare, Tensoren 1. Stufe Vektoren und Tensoren 2. Stufe quadratische Matrizen.

Das mathematische Teilgebiet Lineare Algebra handelt von Tensoren und wird ohne klare Bedeutungsunterscheidung auch Tensorrechnung, Tensoralgebra oder multilineare Algebra genannt. Die Tensoranalysis behandelt Differentialoperationen auf Tensorfeldern über Mannigfaltigkeiten.

In der Physik wird „Tensor“ oft als Abkürzung für Tensorfeld verwendet. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums (allgemeiner: einer Mannigfaltigkeit) einen Tensor zuordnet; jede physikalische Feldtheorie handelt von Tensorfeldern.

Wort- und Begriffsgeschichte

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Das Wort Tensor (lat.: tendo ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn.

Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben. In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein unter großer Mühe die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er erfand überdies die einsteinsche Summationskonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes stillschweigend summiert wird.

Anwendungen

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Tensoren und Tensorfelder werden in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Physik angewandt. Diese Anwendungen sind von sehr unterschiedlicher Komplexität:

• in einigen Fällen genügt es, sich Tensoren als eine Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen; in anderen Fällen steht die Invarianz eines Tensors unter Koordinatentransformationen im Vordergrund;
• in einigen Fällen ist es erforderlich, zwischen ko- und kontravarianten Tensoren zu unterscheiden (mehr dazu unten), in anderen Fällen ist diese Unterscheidung irrelevant.

Man muss deshalb damit rechnen, dass Tensoren in verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden definiert, verschieden notiert und verschieden gehandhabt werden.

Wichtige Anwendungsgebiete umfassen:

• Algebra: Tensorprodukte sind die algebraische Entsprechung zum kartesischen Produkt geometrischer Objekte.
• Analysis: Die in der Taylorentwicklung einer Funktion in mehreren Veränderlichen

$f(x+h)\backslash approx\; f(x)+f\text{'}(x)(h)+\backslash frac1\{2!\}\; f$(x)(h,h)+\frac1{3!} f'(x)(h, h, h)+\ldots

auftretenden multilinearen Ableitungen $f^\{(n)\}(x)$ kann man als symmetrische, rein kovariante Tensoren aufsteigender Stufe auffassen.

• Differentialgeometrie: Differentialformen und Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit sind spezielle Tensorfelder, ebenso Riemannsche Metriken.
• Physik und Ingenieurwissenschaften: Die physikalische Bedeutung von Tensoren liegt darin begründet, dass Naturgesetze, die durch Tensorgleichungen ausgedrückt werden, in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben. Die Tensorsprache erweist sich als besonders zweckmäßig
  • in der Elastizitätstheorie, Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik;
  • in der Elektrodynamik und Speziellen Relativitätstheorie;
  • sie ist unentbehrlich zum Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Erste Annäherung: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix

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Für manche Anwendungen, zum Beispiel in der Elastizitätstheorie und fast überall in den Ingenieurwissenschaften, ist es vollkommen ausreichend, sich Tensoren als eine Fortsetzung der Reihe Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen. Dabei unterscheidet man Tensoren verschiedener Stufen (auch Rang genannt):

• Ein Tensor nullter Stufe ist eine Zahl, auch Skalar genannt.
• Ein Tensor erster Stufe wird durch einen Spaltenvektor dargestellt. Im n-dimensionalen Raum hat ein solcher Tensor genau n Koeffizienten.
• Ein Tensor zweiter Stufe wird durch eine quadratische Matrix dargestellt, also ein Zahlenschema, in dem jeder der n² Koeffizienten des Tensors durch zwei Indizes bezeichnet ist (Beispiele: Arbeitsblatt in einem Tabellenkalkulationsprogramm; zweidimensionales Pixelbild)
• Ein Tensor dritter Stufe ließe sich durch eine würfelförmige Anordnung seiner n³ Koeffizienten darstellen, die durch je drei Indizes "adressiert" werden (Arbeitsmappe in der Tabellenkalkulation; Videosequenz mit zusätzlicher Zeitkoordinate).
• Ein Tensor m-ter Stufe hat dementsprechend n^m Koeffizienten, die mit Hilfe von m Indizes auseinander gehalten werden.

Für diese Objekte sind zwei Operationen definiert, die Verjüngung und die Überschiebung, wobei die Verjüngung als Überschiebung mit der Einheitsmatrix gesehen werden kann.

Die Überschiebung eines Tensors a der Stufe 2 mit einem Tensor b der Stufe 1 ist die normale Matrix-Vektor-Multiplikation

$(a\_\{ij\},b\_k)\backslash mapsto\; \backslash sum\_j\; a\_\{ij\}b\_j$.

Überschiebt man 2 Tensoren 3. Stufe in einem Index, so entsteht ein Tensor 4. Stufe.

Die Verjüngung eines Tensors 2. Stufe entspricht der Berechnung der Spur einer Matrix:

$a\_\{ij\}\backslash mapsto\; \backslash sum\_i\; a\_\{ii\}$;

durch Verjüngen eines Tensors 3. Stufe entsteht ein Tensor 1. Stufe.

Tensorbegriff der Mathematik

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In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei $K$ ein Körper, also beispielsweise $K\; =\; \backslash mathbb\; R$ oder $K=\backslash mathbb\; C,$ und es seien $V\_1,V\_2,\backslash ldots,V\_s$ Vektorräume über $K$.

Das Tensorprodukt $V\_1\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; V\_s$ von $V\_1,\backslash ldots,V\_s$ ist ein $K$-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

$v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s,\backslash quad\; v\_i\backslash in\; V\_i,$

sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:

• $v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes(v\_i\text{'}+v\_i\text{'}\text{'})\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s$

$\{\}=(v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_i\text{'}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s)+(v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_i\text{'}\text{'}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s)$

• $v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes(\backslash lambda\; v\_i)\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s$

=\lambda(v_1\otimes\cdots\otimes v_i\otimes\cdots\otimes v_s),\quad\lambda\in K

Die Tensoren der Form $v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s$ heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist $\backslash \{e\_i^\{(1)\},\backslash ldots,e\_i^\{(d\_i)\}\backslash \}$ eine Basis von $V\_i$ (für $i=1,\backslash ldots,s$; $d\_i=\backslash dim\; V\_i$), so ist

$\backslash \{e\_1^\{(j\_1)\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; e\_s^\{(j\_s)\}\backslash mid\; 1\backslash leq\; i\backslash leq\; s,\; 1\backslash leq\; j\_i\backslash leq\; d\_i\backslash \}$

eine Basis von $V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s.$ Die Dimension von $V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s$ ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume $V\_1,\backslash ldots,V\_s.$

Tensorprodukte und Multilinearformen

Der Dualraum von $V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s$ kann mit dem Raum der $s$-Multilinearformen

$V\_1\backslash times\backslash cdots\backslash times\; V\_s\backslash to\; K$

identifiziert werden:

• Ist $\backslash lambda\backslash colon\; V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s\backslash to\; K$ eine Linearform auf $V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s,$ so ist die entsprechende Multilinearform

$(v\_1,\backslash ldots,v\_s)\backslash mapsto\backslash lambda(v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s).$

• Ist $\backslash mu\backslash colon\; V\_1\backslash times\backslash cdots\backslash times\; V\_s\backslash to\; K$ eine $s$-Multilinearform, so ist die entsprechende Linearform auf $V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s$ definiert durch

$\backslash sum\_\{j=1\}^kv\_1^\{(j)\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s^\{(j)\}\backslash mapsto\backslash sum\_\{j=1\}^k\backslash mu(v\_1^\{(j)\},\backslash ldots,v\_s^\{(j)\}).$

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man

$(V\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s)^*\backslash quad\backslash mathrm\{und\}\backslash quad\; V\_1^*\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s^*$

miteinander identifizieren, d.h. Elemente von $V\_1^*\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; V\_s^*$ entsprechen $s$-Multilinearformen auf $V\_1\backslash times\backslash cdots\backslash times\; V\_s.$

(r,s)-Tensoren

Es sei $V$ ein fester endlichdimensionaler Vektorraum über $K$.

Elemente von

heißen (r,s)-Tensoren oder Tensoren der Stufe (r,s).

Beispielsweise sind (0,0)-Tensoren Skalare, (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums und (1,0)-Tensoren Linearformen auf $V$. (1,1)-Tensoren können mit Endomorphismen von V und (2,0)-Tensoren mit Bilinearformen auf V identifiziert werden (siehe unten).

Für (r,s)-Tensoren gibt es drei wichtige Konstruktionen:

• Einem (r,s)-Tensor kann auf verschiedene Weisen ein $(r-1,s-1)$-Tensor gebildet werden: Für $1\backslash leq\; i\backslash leq\; r$ und $1\backslash leq\; j\backslash leq\; s$ wird einem Tensor

$\backslash lambda\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash lambda\_i\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash lambda\_r\backslash otimes\; v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_j\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s$

der Tensor

$\backslash lambda\_i(v\_j)\backslash cdot(\backslash lambda\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash lambda\_\{i-1\}\; \backslash otimes\backslash lambda\_\{i+1\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash lambda\_r\backslash otimes\; v\_1\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_\{j-1\}\backslash otimes\; v\_\{j+1\}\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\; v\_s)$

zugeordnet. Dieser Vorgang heißt Kontraktion oder Spurbildung: im Falle von (1,1)-Tensoren entspricht die Abbildung

$V^*\backslash otimes\; V\backslash to\; K$

unter der Identifizierung $V^*\backslash otimes\; V=\backslash mathrm\{End\}\backslash ,V$ der Spur eines Endomorphismus.

• Aus einem $(r\_1,s\_1)$-Tensor und einem $(r\_2,s\_2)$-Tensor kann ein $(r\_1+r\_2,s\_1+s\_2)$-Tensor gebildet werden:

$((V^*)^\{\backslash otimes\; r\_1\}\backslash otimes\; V^\{\backslash otimes\; s\_1\})\backslash otimes((V^*)^\{\backslash otimes\; r\_2\}\backslash otimes\; V^\{\backslash otimes\; s\_2\})\backslash cong(V^*)^\{\backslash otimes(r\_1+r\_2)\}\backslash otimes\; V^\{\backslash otimes(s\_1+s\_2)\}.$

• Ist auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben, so können $V$ und $V^*$ miteinander identifiziert werden, es gibt also Entsprechungen zwischen $(r,s)$-Tensoren und $(r+k,s-k)$-Tensoren.

Beispiel

Es sei $g$ ein (2,0)-Tensor und $X,Y\backslash in\; V$ zwei Vektoren. Dann ist

$g\backslash otimes\; X\backslash otimes\; Y$

ein (2,2)-Tensor, der durch zweimalige Spurbildung ein Element von $K$ liefert. Da alle diese Konstruktionen multilinear sind, definiert $g$ also eine Bilinearform

$V\backslash times\; V\backslash to\; K$.

(2,0)-Tensoren können also mit Bilinearformen identifiziert werden.

Beispiele

• Die Determinante von $(n\backslash times\; n)$-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (n,0)-Tensor.
• Lineare Abbildungen $V\backslash to\; W$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen können als Elemente von $V^*\backslash otimes\; W$ aufgefasst werden.

In der Differentialgeometrie spielen Tensorfelder eine wichtige Rolle: Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf $M$ eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet. Meist werden auch noch gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften gefordert.

Beispiele sind:

• Differentialformen vom Grad $k$, insbesondere das totale Differential einer Funktion im Fall $k=1$, sind Schnitte von $\{\backslash bigwedge\}\backslash !\{\}^k\backslash ,\backslash mathrm\; T^*M\backslash subseteq(\backslash mathrm\; T^*M)^\{\backslash otimes\; k\}.$
• Riemannsche Metriken sind (2,0)-Tensoren.
• Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (3,1)-Tensor, der mithilfe der riemannschen Metrik als (4,0)-Tensor aufgefasst werden kann.

Siehe auch Tensoralgebra, äußere Algebra, symmetrische Algebra.

Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen

Sei $V$ ein fester $K$-Vektorraum und $W$ ein beliebiger weiterer $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $f:W\; \backslash to\; V$ heißt kovariant bezüglich $V$, eine lineare Abbildung $g:V\; \backslash to\; W$ heißt kontravariant in $V$.

Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um - eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt.

Grundlegende Beispiele:

• Ein Vektor $\backslash mathbf\{v\}\; \backslash in\; V$ ist mit der Abbildung $i:K\; \backslash to\; V$ zu identifizieren, welche $K$ auf die Gerade $x\; \backslash mapsto\; x\backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}$ mit der Richtung $\backslash mathbf\{v\}$ abbildet. Ein Vektor ist also kovariant.

• Ein Kovektor $\backslash mathbf\{v\}^*\; \backslash in\; V^*$ ist als lineares Funktional $\backslash mathbf\{v\}^*:V\; \backslash to\; K$ definiert, somit ist er kontravariant in $V$.

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Man kann das Tensorprodukt $\backslash mathcal\; T^2V:=V\backslash otimes\; V$ eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten $a\backslash otimes\; b$ die Faktoren zu vertauschen,

$\backslash Pi\_\{12\}(a\backslash otimes\; b):=b\backslash otimes\; a$.

Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.

• Ein $w\backslash in\; U\backslash otimes\; V$, welches $\backslash Pi\_\{12\}(w):=w$ erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente

$w=a\backslash otimes\; b:=\backslash frac12(a\backslash otimes\; b+b\backslash otimes\; a)$.

Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\backslash mathcal\; S^2V=(1+\backslash Pi\_\{12\})(V\backslash otimes\; V)$ bezeichnet.

• Ein $w\backslash in\; U\backslash otimes\; V$, welches $\backslash Pi\_\{12\}(w):=-w$ erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente

$w=a\backslash wedge\; b:=\backslash frac12(a\backslash otimes\; b-b\backslash otimes\; a)$.

Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\backslash Lambda^2V:=(1-\backslash Pi\_\{12\})(V\backslash otimes\; V)$ bezeichnet.

Mittels $\backslash mathcal\; T^\{n+1\}V:=V\backslash otimes\; \backslash mathcal\; T^nV$ können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen.

$\backslash Pi\_\{jk\}=\backslash Pi\_\{1j\}\backslash circ\backslash Pi\_\{1k\}\backslash circ\backslash Pi\_\{1j\}$

Tensorbegriff der Physik

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Tensoren im physikalischen Sinne als Multilinearformen

Tensoren $T$ sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$:

$T:V\_1^\{\}\backslash times\; V\_2^\{\}\backslash times\backslash dots\backslash times\; V\_s^\{\}\backslash to\; K$.

$V\_1,\; \backslash dots\backslash \; ,\; V\_s$ sind jeweils Vektorräume über dem gemeinsamen Körper $K$. Mit $s$ wird die Stufe des Tensors bezeichnet.

Multilineare Abbildungen sind genau dann Tensoren, wenn jeder der Vektorräume $V\_1,\; \backslash dots\backslash \; ,\; V\_s$ entweder $V^*$ oder $V$ ist.

$V$ ist ein beliebiger Vektorraum über dem Körper $K$. $V^*$ ist der sogenannte duale Vektorraum. Dieser umfasst die Menge der linearen Abbildungen vom Vektorraum $V$ in den Körper $K$.

Beispielsweise sei der folgende Tensor angegeben:

$T:V\backslash times\; V^*\backslash to\; K$

Den beispielhaften Tensor erhält man, indem man für $V\_1=V$ und $V\_2=V^*$ in die allgemeingültige Definition für multilineare Abbildung einsetzt.

Die Vektorräume $V$ und $V^*$ haben dieselbe Dimension. Das kann man folgendermaßen ausdrücken:

$\backslash mathrm\{dim\}(V)=\backslash mathrm\{dim\}(V*)=d$

$d$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Dimension der Vektorräume.

Tensoren im physikalischen Sinne als "indizierte Größen"

Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-fach indizierte Größe $T\_\{i\_1,i\_2,...,i\_n\}$. Es wird weiter gefordert, dass der Tensor ein bestimmtes Transformationverhalten hat. Wird das Koordinatensystem mit einer Drehmatrix $a\_\{i,j\}$ gedreht, so lautet der Tensor in den neuen Koordinaten:

$T\text{'}\_\{i\_1,i\_2,...,i\_n\}=\backslash sum\_\{j\_1=1\}^3\; ...\; \backslash sum\_\{j\_n=1\}^3\; a\_\{i\_1,j\_1\}\; ...\; a\_\{i\_n,j\_n\}\; T\_\{j\_1,j\_2,...,j\_n\}$.

Diese Definition ist äquivalent mit der obigen. Weitere Informationen über das Thema findet man unter Indexdarstellungen der Relativitätstheorie.

Beispiele von wichtigen Tensoren in der Physik

Das Kronecker-Delta $\backslash delta$ ist ein Tensor zweiter Stufe. Es ist ein Element von $\backslash mathbb\; R^3\; \backslash otimes\; \backslash mathbb\; R^3$; es ist also eine lineare Abbildung $\backslash delta\; :\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$. Lineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch

$\backslash delta(e\_i,e\_j)=\backslash delta\_\{ij\}\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right. bestimmt.

Das Levi-Civita-Symbol ist ein Tensor dritter Stufe. Es gilt $\backslash epsilon\; :\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$. Man schreibt $\backslash epsilon(e\_i,e\_j,e\_k)\; =\; \backslash epsilon\_\{i\; j\; k\}$. Zur Definition von $\backslash epsilon\_\{i\; j\; k\}$ siehe Levi-Civita-Symbol.

Basis und Koordinaten von Vektoren

Für ein tieferes Verständnis von Tensoren ist es unerlässlich, zu rekapitulieren, was eigentlich ein Vektor ist: nämlich

• ein geometrisches Objekt,
• das einem Vektorraum angehört,
• das durch Koordinaten bezüglich einer Basis (Vektorraum) dargestellt werden kann,
• das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt.

Wir betrachten einen Vektor v aus einem n-dimensionalen Vektorraum V. Bezüglich einer gegebenen Basis {e₁, ..., e_n} ist v durch seine Koordinaten v¹, ..., v ⁿ gegeben:

v = v¹e₁ + ... + v ⁿe_n.

Das Hochstellen der Koordinatenindizes ist in einigen, aber nicht allen Anwendungen der Tensorrechnung üblich; es steht im Zusammenhang mit der Unterscheidung von ko- und kontravarianten Größen; mehr dazu unten.

Summationskonvention

Im weiteren Verlauf dieses Artikels verwenden wir die von Einstein eingeführte Summationskonvention: über jeden Index, der auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt, wird automatisch summiert. Statt

v = v¹e₁+ ... + v ⁿe _n = $\backslash sum\_\{i=1\}^n$ v ⁱe_i

schreiben wir also ab sofort

v = v ⁱe_i.

Kovariante und Kontravariante Tensoren

Die Vektoren des dualen Vektorraums $V^*$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kovariante Tensoren bezeichnet.

$\backslash mathbf\{v\}^*:V\; \backslash to\; K$

Die Basisvektoren des dualen Vektorraums $V^*$ seien gegeben durch:

$B^*=(\backslash mathbf\{e\}^1,\backslash dots\backslash \; ,\backslash mathbf\{e\}^d)$

Für einen beliebigen Vektor $\backslash mathbf\{v\}^*$ des Dualraums gibt es folgende Koordinatendarstellung:

$\backslash mathbf\{v\}^*\; =\; x\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}^i$

Die Koordinaten $x\_i$ eines kovarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen tiefgestellten Index i.

Jeder Basisvektor stellt einen Tensor der Stufe 1 dar. Für die Basistensoren der Stufe 1 gelten die Gleichungen

$\backslash mathbf\{e\}^i\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; \backslash right)=\backslash delta\_\{ij\}$ für alle $i$, $j$ Element von $\{1,\; \backslash dots\backslash \; ,\; d\}$ ,

wobei das sogenannte Kronecker-Delta $\backslash delta\_\{i,j\}$ für $i\; =\; j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat.

Die Vektoren $\backslash mathbf\{v\}^\{**\}$ des bidualen Vektorraums $V^\{**\}$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kontravariante Tensoren bezeichnet.

$\backslash mathbf\{v\}^\{**\}:V^*\backslash to\; K$

Die Abbildung $\backslash mathbf\{\backslash iota\}\_v$, die jedem Element $\backslash mathbf\{v\}^*$ des Dualraums $\backslash mathbf\{v\}^*(\backslash mathbf\{v\})$ zuordnet, ist Element des Bidualraums. Denn $\backslash mathbf\{v\}^*(\backslash mathbf\{v\})$ ist Element des zugrundeliegenden Körpers K.

$\backslash mathbf\{v\}^*\; \backslash mapsto\; \backslash mathbf\{v\}^*(\backslash mathbf\{v\})$

$\backslash mathbf\{\backslash iota\}\_v\backslash left(\; \backslash mathbf\{v\}^*\; \backslash right):=\backslash mathbf\{v\}^*(\backslash mathbf\{v\})$,

Jedem Vektor $\backslash mathbf\{v\}$ kann somit genau ein Bidualvektor $\backslash mathbf\{\backslash iota\}\_v$ zugeordnet werden:

$\backslash mathbf\{v\}\; \backslash mapsto\; \backslash mathbf\{\backslash iota\}\_v$

Es kann gezeigt werden, dass diese Zuordnung eine bijektive Abbildung zwischen dem Vektorraum $V$ und dem Bidualvektorraum $V^\{**\}$ darstellt. Die Elemente des Bidualraums $V^\{**\}$ werden deshalb häufig mit den Elementen des Vektorraums $V$ identifiziert, d.h. es wird nicht zwischen den Elementen von $V$ und $V^\{**\}$ unterschieden. Die nachfolgende Schreibweise bringt das zum Ausdruck:

$\backslash mathbf\{v\}\backslash left(\; \backslash mathbf\{v\}^*\; \backslash right)\; =\backslash mathbf\{v\}^*\backslash left(\; \backslash mathbf\{v\}\backslash right)$

Die Koordinaten $x^i$ eines kontravarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen hochgestellten Index $i$.

Häufig werden die Koordinaten $x$ eines Vektors mit dem Vektor identifiziert. Die Darstellung des Vektors durch dessen Koordinaten in einer bestimmten Basis wird mit dem Vektor an sich gleichgesetzt. In dieser Sprechweise ist ein "Vektor" mit tiefgestelltem Index kovariant und ein Vektor mit hochgestelltem Index kontravariant.

Tensoren der Stufe r+s

Man definiert einen Tensor vom Grad (r,s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten $v^1,...,v^s$ und r Argumenten $\backslash lambda\_1,...,\backslash lambda\_r.$ Die Argumente $v^1,...,v^s$ sind Elemente eines Vektorraumes $V$ und $\backslash lambda\_1,...,\backslash lambda\_r$ Argumente des zum Vektorraum gehörenden Dualraumes $V^*$.

Der Tensor hat dann die Form

$\backslash begin\{matrix\}$

\underbrace{V\times V\times \dots \times V} \\ s\; mal \end{matrix} \begin{matrix} \times \underbrace{V^* \times V^* \times \dots \times V^*} \rightarrow \mathbb{R} \\ r\;mal \end{matrix}

$(v^1,...,v^s,\backslash lambda\_1,...,\backslash lambda\_r)\; \backslash rightarrow\; T(v^1,...,v^s,\backslash lambda\_1,...,\backslash lambda\_r)$

Die Summe r + s heißt Stufe oder Rang des Tensors.

Je nachdem, ob die Argumente aus einem Vektorraum sind oder aus dessen Dualraum, wird der Tensor als kovariant oder kontravariant bezeichnet. Im obigen Fall liegt ein s-fach kovarianter, r-fach kontravarianter Tensor vor.

Komponenten eines Tensors

Als Komponenten des oben beispielhaft angegebenen Tensors T werden die folgenden Größen bezeichnet:

$T\_i\{\}^j\{\}\; :=\; T\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_i,\backslash mathbf\{e\}^j\backslash right)$

Die Koordinaten eines Tensors der Stufe 1 sind die Komponenten dieses Tensors. Der Tensor T lässt sich nach den kovarianten und kontravarianten Basistensoren entwickeln, so dass gilt:

$T=T\_i\{\}^j\{\}\; \backslash mathbf\{e\}^i\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{e\}\_j$

Tensorprodukt

Das Produkt $e^i\; \backslash otimes\; e\_j$ zwischen dem kovarianten Tensor $e^i$ der Stufe 1 und dem Kontravarianten Tensor $e\_j$ der Stufe 1 ist wiederum ein Tensor der Stufe 2. Ist d die Dimension des Vektorraums V, so gibt es $d^2$ Basistensoren $e^i\; \backslash otimes\; e\_j$ der Stufe 2.

Die Verknüpfung $\backslash otimes$ ist für jegliche Tensoren vom Rang 1 definiert. Die Verknüpfung ist eine Bilineare Funktion.

Für das Symbol v$\backslash otimes$w gelten folgende Rechenregeln:

• $(v\_1+v\_2)\backslash otimes\; w\; =\; v\_1\backslash otimes\; w\; +\; v\_2\backslash otimes\; w$
• $v\backslash otimes(w\_1\; +\; w\_2)\; =\; v\backslash otimes\; w\_1\; +\; v\backslash otimes\; w\_2$
• $(\backslash lambda\; v)\backslash otimes\; w\; =\; \backslash lambda\backslash cdot(v\backslash otimes\; w)\; =\; v\backslash otimes(\backslash lambda\; w)$    ($\backslash lambda$ ein Element des Grundkörpers K)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Im Allgemeinen gilt jedoch:

$v\backslash otimes\; w\backslash not=\; w\backslash otimes\; v$

Der Sprachgebrauch hinsichtlich des Begriffs Tensors ist nicht immer einheitlich in der Physik. Häufig wird nicht die multilineare Abbildung T als Tensor bezeichnet, sondern deren Komponenten $T\_i\{\}^j\{\}$. Die Komponenten ändern ihre Gestalt, wenn die Basis des Vektorraums V gewechselt wird. Der Tensor T selbst bleibt gleich. Die Abbildung zwischen den neuen und alten Komponenten der Vektoren in V nennt man Koordinatentransformation. Die wohl bekanntesten Koordinatentransformationen sind die Galileitransformation und die Lorentztransformation. Tensoren können durch Skalare (Tensor der Stufe 0), Vektoren (Stufe 1), Matrizen (Stufe 2) dargestellt werden. Die Komponenten dieser Tensoren kann man sich als Zahlentupel vorstellen. Im Sprachgebrauch der Physik werden derartige Zahlentupel Tensoren genannt, wenn sie unter einer Koordinatentransformation ein festgelegtes Verhalten aufweisen.

Basiswechsel und Koordinatentransformationen

Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ tritt an die Stelle der bisherigen Basis $E\; :=(\backslash mathbf\{e\}\_1,\; \backslash dots\backslash \; ,\; \backslash mathbf\{e\}\_n)$ eine neue Basis $E\text{'}\; :=(\backslash mathbf\{e\}\_1\text{'},\; \backslash dots\backslash \; ,\; \backslash mathbf\{e\}\_n\text{'})$.

Dem Wechsel der Basis entspricht eine bijektive lineare Abbildung $a:V\; \backslash to\; V$, welche jedem alten Basisvektor den neuen zuordnet,

$\backslash mathbf\{e\}\_i\text{'}\; =\; a(\backslash mathbf\{e\}\_i)\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; \backslash cdot\; a\_\{ji\}$

(mit Summation über $j$). Die zweite Gleichheit resultiert daraus, dass wir jeden neuen Basisvektor als Linearkombination in der alten Basis ausdrücken können. Fassen wir die Koeffizienten zusammen, so erhalten wir die Matrix $A=\; (a\_\{ij\}\; )$ des Basiswechsels.

Ein Vektor $\backslash mathbf\{v\}$, der invariant bleiben soll, hat in beiden Basen verschiedene Koordinatendarstellungen:

$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash cdot\; x\_i\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_j\text{'}\; \backslash cdot\; x\_j\text{'}\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_j\; \backslash cdot\; a\_\{ji\}\; \backslash cdot\; x\_i\text{'}$.

Man liest ab, dass die Koordinatentransformation von $x\_i$ nach $x\_j\text{'}$ der Vorschrift

$x\; =Ax\text{'}$ beziehungsweise $x\_j\; =\; a\_\{ji\}\; \backslash cdot\; x\_i\text{'}$

genügt. Wollen wir also die neuen mittels der alten Koordinaten ausdrücken, so müssen wir die Matrix $A$ invertieren:

$x\text{'}=A^\{-1\}x$ und in Indizes $x\_i\text{'}=(a^\{-1\})\_\{i,j\}\; \backslash cdot\; x\_j$.

Man erkennt, dass sich Basis und Vektorkoordinaten gegenläufig transformieren:

• von $\backslash mathbf\{e\}\_j$ nach $\backslash mathbf\{e\}\_i\text{'}$ mit der Matrix $(a\_\{ji\})$,
• von $x\_j$ nach $x\_i\text{'}$ dagegen mit der inversen Matrix $\backslash left((a^\{-1\})\_\{ij\}\backslash right)$.

In der physikalischen Literatur wird oft das Beschriebene mit der Beschreibung gleichgesetzt, besonders in der Teilchenphysik. So wird ein Tensor mit seiner Koordinatendarstellung gleichgesetzt. Ein Tensor, dessen Koordinaten kontravariant transformieren, wird dann als kontravarianter Tensor bezeichnet, obwohl das beschriebene Objekt invariant bleibt. Vektoren werden demnach als kontravariante Tensoren erster Stufe bezeichnet, obwohl nur ihre Koordinatendarstellung es ist, als geometrische Objekte sind sie ja invariant.

Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe

Eine Linearform ist eine lineare Abbildung aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Skalarkörper. Der Vektorraum aller Linearformen über einem Vektorraum $V$ ist dessen Dualraum $V^*$.

Wenn eine bestimmte Basis $\backslash mathbf\{e\}\_1,\; \backslash dots\backslash \; ,\backslash mathbf\{e\}\_n$ von $V$ gegeben ist, dann kann man in kanonischer Weise eine Basis $\backslash mathbf\{e\}^1,\; \backslash dots\backslash \; ,\backslash mathbf\{e\}^n$ von $V^*$ wählen, so dass gilt:

$\backslash mathbf\{e\}^i(\backslash mathbf\{e\}\_j)\; =\; \backslash delta\_\{i,j\}$ (wobei das Kronecker-Delta $\backslash delta\_\{i,j\}$ für $i=j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat).

Eine Linearform

$\backslash mathbf\{f\}\; =\; f\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}^i$,

auf einen Vektor $\backslash mathbf\{v\}$ angewandt, liefert dann

$\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{v\})\; =\; f\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}^i\; (v^j\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_j)\; =\; f\_i\; \backslash cdot\; v^j\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}^i\; (\backslash mathbf\{e\}\_j)\; =\; f\_i\; \backslash cdot\; v^j\; \backslash cdot\; \backslash delta\_\{i,j\}\; =\; f\_i\; \backslash cdot\; v^i$.

Damit die Beziehungen $\backslash mathbf\{e\}^i(\backslash mathbf\{e\}\_j)\; =\; \backslash delta\_\{i,j\}$ und $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{v\})=f\_i\; \backslash cdot\; v^i$ unabhängig von der Wahl bestimmter Basen gelten, ist zu fordern:

Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ transformieren

• die Basisvektoren $\backslash mathbf\{e\}^i$ des Dualraums $V^*$ kontravariant, und
• die Koeffizienten $f\_i$ einer Linearform $f$ kovariant,

wie wir es in der Notation durch Hoch- beziehungsweise Tiefstellen der Indizes schon vorweggenommen haben.

Eine Linearform, die diese Transformationseigenschaften aufweist, heißt 1-Form oder kovarianter Tensor erster Stufe oder kovarianter Vektor.

Matrizen und Tensorprodukte

Wir können einer beliebigen quadratischen Matrix $B$ ein invariantes Objekt, nämlich ein Skalar, zuordnen, indem wir mit zwei Koordinatenvektoren $x$ und $y$ das Produkt

$x^t\; \backslash cdot\; B\; \backslash cdot\; y=b\_\{ij\}\; \backslash cdot\; x^i\; \backslash cdot\; y^j$ bilden.

Drücken wir es in den von den Koordinaten beschriebenen invarianten Vektoren $\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; x$ und $\backslash mathbf\{w\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; y$ aus, können wir das invariante Objekt ablesen, welches $A$ zuzuordnen ist:

$x^t\; \backslash cdot\; B\; \backslash cdot\; y=(\backslash mathbf\; E^\{-1\}v)^tB\backslash mathbf\; E^\{-1\}w=b\_\{ij\}\backslash cdot\; e^i(v)\; \backslash cdot\; e^j(w)$.

Wir erhalten also eine Bilinearform $b:V\; \backslash times\; V\; \backslash to\; K$, man schreibt sie als

$b=b\_\{ij\}\; \backslash cdot\; e^i\backslash otimes\; e^j$

Verhalten von Tensorkomponenten unter Koordinatentransformation

Für die Koordianten bzw. Komponenten ($T^i$) eines Kontravarianten Tensors der Stufe 1 gilt:

$\backslash bar\{T\}^i\; =\; T^r\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash bar\{x\}^i\}\{\backslash partial\; x^r\}.$

Für die Koordianten bzw. Komponenten ($T\_i$) eines Kovarianten Tensors der Stufe 1 gilt:

$\backslash bar\{T\}\_i\; =\; T\_r\backslash frac\{\backslash partial\; x^r\}\{\backslash partial\; \backslash bar\{x\}^i\}.$

Wobei $\backslash bar\{x\}^i=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash bar\{x\}^i\}\{\backslash partial\; x^r\}x^r$ eine beliebige Koordinatentransformation darstellt.

Für einen beliebigen Tensor höherer Stufe transformieren sich die Komponenten auf folgende Weise:

$\backslash bar\{T\}^\{\backslash left*\}\_\{\backslash left*\}\; =$

T^{\left^*}_{\left^*} \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{r_1}} \frac{\partial \bar{x}^{i_2}}{\partial x^{r_2}} ... \frac{\partial \bar{x}^{i_p}}{\partial x^{r_p}} \frac{\partial x^{s_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \frac{\partial x^{s_2}}{\partial \bar{x}^{j_2}} ... \frac{\partial x^{s_q}}{\partial \bar{x}^{j_q}}.

Es ist nochmals zu betonen, dass der eigentliche Tensor T invariant unter Koordinatentransformation ist. In einigen Lehrbüchern werden die Komponenten Tij eines Tensors als "Tensor" bezeichnet. Als "Tensor" wird dann jegliche inidizierte Größe angesehen, die sich wie oben dargestellt unter Koordinatentransformationen verhalten. Das Transformationsverhalten ist damit konstitutiv für den Tensorcharakter.

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Für Anwendungen in der Statistik, speziell für multivariate Verfahren, wird das Tensorprodukt von Spaltenvektoren und diese transformierender Matrizen benötigt. Für diesen Zweck wird das Kronecker-Produkt von Matrizen eingesetzt. Diesem liegt zugrunde, dass aus einem Multiindex durch alphabetische Anordnung ein einfacher Index erzeugt wird. Wenn beispielsweise das Produkt eines zwei- und eines dreidimensionalen Vektors gebildet wird, so wird dem Indexpaar (i,j) der einfache Index 3i+j-3 zugeordnet, d.h.

$$

a\otimes b:=\begin{pmatrix}a_1b\\a_2b\end{pmatrix}

=(a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3,\;a_2b_1,a_2b_2, a_2b_3)^t

. Im Kronecker-Produkt zweier Matrizen wird dieses Verfahren in beiden Dimensionen separat angewandt.

Siehe auch

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• Tabelle mathematischer Symbole

Weblinks

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• Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren (pdf-Datei; 132 KB)

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