In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (nützlich z.B. in der Physik). Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion $f$ in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Definition

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Sei $I$ ein reelles Intervall und $f:\; I\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt die unendliche Reihe

$$

P_f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \cdots

$=\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\}\; (x-a)^n$

die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungspunkt $a$, wobei $a\; \backslash in\; I$.

Im Spezialfall $a\; =\; 0$ wird die Taylor-Reihe manchmal auch Maclaurin-Reihe genannt.

Hierbei bezeichnet $f^\{(n)\}(a)$ die $n$-te Ableitung von $f$ an der Stelle $a$ (mit $f^\{(0)\}:=f$) und $n!\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; \backslash dots\; \backslash cdot\; n$ die Fakultät von $n$.

Den Ausdruck $T\_1(x)\; :=\; f(a)+\; \{f\text{'}(a)\}\; (x-a)$ (also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch "Linearisierung von $f$ an der Stelle $a$". Allgemeiner nennt man die Partialsumme

$T\_n(x)\; :=\; f(a)+\; \backslash frac\{f\text{'}(a)\}\{1!\}\; (x-a)\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\}\; (x-a)^n,$

die für festes $a$ ein Polynom in der Variablen $x$ darstellt, das $n$-te Taylorpolynom, und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung (das Restglied) von der Funktion $f$. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformel sind Taylorpolynome unverzichtbares Hilfsmittel der Analysis und der Ingenieurwissenschaften geworden.

Eigenschaften

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Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in $x$. Allgemein muss sie weder einen positiven Konvergenzradius haben, noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich mit $f$ übereinstimmen: Die Gleichung

$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\}\; (x-a)^n$

gilt nicht unbedingt für alle $x$ aus $I$, sondern nur dort, wo die Potenzreihe konvergiert und denselben Wert wie f(x) hat. Den Namen "Taylorreihe" trägt sie aber unabhängig von ihrer Konvergenz.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen $x$ aus $I$ gegen $f(x)$, für die das Restglied $R\_k(x)=f(x)-T\_\{k\}(x)$ gegen 0 konvergiert.

Ist $f$ selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $a$, dann stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe, und wenn die Taylorreihe gegen $f$ konvergiert, dann sind höhere Taylorpolynome automatisch bessere Näherungen, da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von $x$ stets eine Umgebung, in der diese Bedingung erfüllt ist.

Beispiele

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Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt $x=0$ mit der Ausgangsfunktion überein:

$$

f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls } x\le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x} & \mbox{falls } x>0 \end{cases}

Als reelle Funktion ist $f$ unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt $x\; \backslash leq\; 0$ (insbesondere für $x\; =0$) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit $f$ überein. Daher ist $f$ nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt $a\; >0$ konvergiert zwischen 0 und $2a$ gegen $f$. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für $x\; >0$ korrekt wiedergibt, für nicht konstant 0 ergibt.

Taylorreihen mit Konvergenzradius größer Null

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen $x$:

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Taylor_Approximation_of_ln(x+1).jpeg

$e^x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{n!\}$ für alle reellen (oder komplexen) $x$

$\backslash log(1+x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; (-1)^\{n+1\}\; \backslash frac\{x^n\}\{n\}$ für

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

$\backslash log\; \backslash left(\backslash frac\{1+x\}\{1-x\}\backslash right)\; =\; 2\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}$ für

Wählt man $x\; :=\; \backslash frac\{y-1\}\{y+1\}$ für ein $y>0$, dann erhält man damit $\backslash log(y)$.

Trigonometrische Funktionen

Taylor_Approximation_of_sin(x).jpeg Für den Entwicklungspunkt $a=0$ gilt (Maclaurin-Reihe):

$\backslash sin(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\; \backslash quad\backslash mathrm\{\; f\backslash ddot\{u\}r\backslash \; alle\backslash \; \}\; x$

$\backslash cos(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{x^\{2n\}\}\{(2n)!\}\; \backslash quad\backslash mathrm\{\; f\backslash ddot\{u\}r\backslash \; alle\backslash \; \}\; x$

$\backslash tan(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{B\_\{2n\}(-4)^n(1-4^n)\}\{(2n)!\}x^\{2n-1\}$

\quad\mathrm{ f\ddot ur }\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, dabei ist $B\_\{2n\}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl.

, dabei ist $E\_\{2n\}$ die $2n$-te Eulersche Zahl.

Verallgemeinerte Taylorreihe

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Sei $U\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$ ein Gebiet und $f:U\backslash mapsto\backslash mathbb\{R\}$ eine Funktion, die unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dann heißt die Reihe

$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{k!\}\; \backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}\; f(a)\; (x-a)^k$

die Taylorreihe von $f$ im Punkt $a$.

Anmerkungen

Bei $\backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}\; f(a)$ handelt es sich um das Differential $k$-ter Ordnung einer mindestens $k$-fach stetig differenzierbaren Funktion $f$ im Punkt $a$; es ist also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung $d^\{(k)\}\; f(a):\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$, die durch

$\backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}\; f(a)\; (v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_k)\; :=\; \backslash frac\{\backslash partial^k\; f\}\{\backslash partial\; v\_1\; \backslash cdots\; \backslash partial\; v\_k\}\; (a)$ für alle $v\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$

definiert ist. Da $f$ $k$-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials $k$-ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.

Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit $k$ Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:

$\backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}\; f(a)\; x^k\; :=\; \backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}\; f(a)\; ($

\begin{matrix}\underbrace{x, \ldots, x}\\ {}^{\rm k-mal} \\^* \end{matrix} )

Außerdem gilt die folgende Beziehung:

$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; v\_i\}\; (a)=\; \backslash mathrm\{d\}f(a)\; v\_i\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash partial\_k\; f\; (a)\; \backslash cdot\; v\_i^\{(k)\}$ für alle $v\_i\; =\; (v\_i^\{(1)\},\; \backslash ldots,\; v\_i^\{(n)\})^t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$

Daraus ergibt sich für das Differential

$\backslash mathrm\{d\}^\{(k)\}f(a)\; x^k\; =\; \backslash sum\_\{i\_1=1\}^n\; \backslash cdots\; \backslash sum\_\{i\_k\; =\; 1\}^n\; \backslash partial\_\{i\_1\}\backslash cdots\; \backslash partial\_\{i\_k\}\; f(a)\; x\_\{i\_1\}\; \backslash cdots\; x\_\{i\_k\}$.

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