In der Analysis verwendet man die Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch die sogenannten Taylor-Polynome anzunähern. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die so genannte Taylorreihe.

Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit sowie Nützlichkeit Hilfsmittel in vielen Natur- und Ingenieurwissenschaften geworden.

Definition und Satz

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Sei I ein reelles Intervall und $f:\; I\backslash to\backslash R$ eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle a und x aus I:

$f(x)\; =\; T\_\{n\}\; (x)\; +\; R\_\{n\}\; (x)$

mit dem so genannten $n$-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

$$

T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left( {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k \right)

$=\; f(a)\; +\; \backslash frac\{f\text{'}(a)\}\{1!\}(x-a)\; +\; \backslash frac\{f\text{'}\text{'}(a)\}\{2!\}(x-a)^2\; +\; \backslash ldots$

+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

und dem so genannten $n$-ten Restglied

$$

R_{n}(x) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt .

In den Formeln stehen $f\text{'},\; f\text{'}\text{'},\; \backslash dots,\; f^\{(n)\}$ für die erste, zweite, ... n-te Ableitung der Funktion f.

Beweis

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Der Beweis dieser Formel für das Restglied erfolgt durch Induktion, der Induktionsanfang n = 0 entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis:

$f(x)\; =\; f(a)\; +\; \backslash int\backslash limits\_a^x\; f\text{'}(t)\; dt$

Der Induktionsschritt $n\; \backslash rightarrow\; n+1$ erfolgt durch partielle Integration (es ist zu zeigen, dass die Formel für $n+1$ gilt):

$T\_\{n+1\}(x)\; +\; R\_\{n+1\}(x)$

$=\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\{n+1\}\backslash left(\backslash frac\{f^\{(k)\}(a)\}\{k!\}(x-a)^k\backslash right)\; +\; \backslash int\backslash limits\_a^x\backslash frac\{(x-t)^\{n+1\}\}\{(n+1)!\}f^\{(n+2)\}(t)d\; t$

$=T\_n(x)\; +\; \backslash frac\{f^\{(n+1)\}(a)\}\{(n+1)!\}(x-a)^\{n+1\}\; +\; \backslash left*\_\{t=a\}^\{t=x\}\; -\; \backslash int\backslash limits\_a^x\; -\backslash frac\{(x-t)^n\}\{n!\}f^\{(n+1)\}(t)d\; t$

$=\; T\_n(x)\; +\; \backslash frac\{(x-a)^\{n+1\}\}\{(n+1)!\}f^\{(n+1)\}(a)-\backslash frac\{(x-a)^\{n+1\}\}\{(n+1)!\}f^\{(n+1)\}(a)\; +\; R\_n(x)$

$=\; T\_n(x)\; +\; R\_n(x)\; =\; f(x)\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\; \backslash mathrm\{q.e.d\}$

Restgliedformeln

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Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes. Eine ist die Lagrangesche Form des Restgliedes:

$$

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} für ein ξ zwischen a und x.

Sie ist der Spezialfall p = n+1 der Schlömilch'schen Restgliedform für die natürliche Zahl p mit 1 <= p <= n+1:

$$

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^{p} für ein ξ zwischen a und x.

Im Spezialfall p=1 erhalten wir das Cauchy'sche Restglied:

$$

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a) für ein ξ zwischen a und x. Das Restglied hat die Eigenschaft, für x gegen a schnell gegen 0 zu konvergieren, genauer gilt:

$$

\lim_{x\to a} \frac{R_{n+1}(x)}{(x-a)^n} = 0

Das bedeutet, je näher x bei a liegt, desto besser stimmt das Taylorpolynom T_n an der Stelle x mit der Funktion f überein.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus

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Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt für Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Das 3. Taylorpolynom T_3,sin der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat diese Gestalt:

$\backslash sin(x)\; \backslash approx\; T\_\{3,\backslash sin\}(x)\; =\; x\; -\; \backslash frac\{x^3\}\{6\}$

Liegt x zwischen -π/4 und π/4, dann liegt die relative Abweichung |(T_3,sin(x)-sin(x))/sin(x)| bei unter 0,5%.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome T_n des Sinus für n =1, 3, 5, 15. Der Graph zu n = ∞ gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Taylorpolynom_sin.png

Das vierte Taylorpolynom T_4,cos der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner-Schema diese Gestalt:

$\backslash cos(x)\; \backslash approx\; T\_\{4,\backslash cos\}(x)\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x^2\}\{12\}\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x^2\}\{2\}\; +\; 1$

Liegt x zwischen -π/4 und π/4, dann liegt die relative Abweichung |(T_4,cos(x)-cos(x))/cos(x)| bei unter 0,05%.

Will man mit diesen Näherungsformeln den Sinus oder Kosinus von anderen x-Werten berechnen, sollte man die Reduktionsformeln benutzen, um |x| kleiner als π/4 zu machen.

Auch für Tangens und Kotangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist

tan(x) ~ t(x) = T_3,sin(x) / T_4,cos(x)

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5% für |x| < π/4, und cot(x) ~ 1/t(x) mit derselben relativen Abweichung. (Dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens.)

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren. Warum das so ist, wird im Artikel Taylorreihe erläutert.

Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

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Sei $M\; \backslash subset\; \backslash mathbb\; R^m$ offen, $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\_0$ und $x\_0\; \backslash in\; M$.

Die Funktion $f:M\; \backslash rightarrow\; \backslash R$ sei $(k+1)$-mal stetig differenzierbar, also aus $\backslash mathcal\; C^\{k+1\}(M)$.

Dann gibt es für alle $x\; \backslash in\; M$ mit $S\_\{x\_0,\; x\}:=\backslash lbrace\; x\_0\; +\; t(x-x\_0)|t\; \backslash in*\backslash rbrace\; \backslash subset\; M$ ein $z\; \backslash in\; S\_\{x\_0,x\}$ mit

$f(x)=\backslash sum\backslash limits\_\{|j|\backslash leq\; k\}\backslash frac\{D^jf(x\_0)\}\{j!\}(x-x\_0)^j+\backslash sum\backslash limits\_\{|j|=k+1\}\backslash frac\{D^jf(z)\}\{j!\}(x-x\_0)^j$

wobei $j$ ein Multiindex ist mit:

$j=\backslash begin\{pmatrix\}j\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; j\_m\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash in\; \backslash mathbb\; N\_0^m$

$|j|:=j\_1+\backslash cdots\; +j\_m$ heißt die Länge von $j$

z.B. $|j|=3\; \backslash Rightarrow\; j=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\},\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\},\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\},\; \backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\},\; ...,\; \backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\},\; \backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\; oder\; \backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$

$j!:=\backslash prod\backslash limits\_\{i=1\}^\{m\}j\_i!$

und $D^j\; f:=\backslash frac\{\backslash partial^\{|j|\}\}\{\backslash partial\; x\_1^\{j\_1\}\; \backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; \backslash partial\; x\_m^\{j\_m\}\}f$

so ist z.B. $(x-x\_0)^j=\backslash left\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash x\_2\backslash \backslash \; \backslash vdots\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}x\_1^0\backslash \backslash x\_2^0\backslash \backslash \; \backslash vdots\backslash end\{pmatrix\}\backslash right^\{\backslash begin\{pmatrix\}j\_1\backslash \backslash j\_2\backslash \backslash \; \backslash vdots\backslash end\{pmatrix\}\}=(x\_1-x\_1^0)^\{j\_1\}\backslash cdot(x\_2-x\_2^0)^\{j\_2\}\backslash cdots$

Analysis

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