Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

Schreibweise:

{|cellpadding=5 Tangens: $f(x)\; =\; \backslash tan\; x\; \backslash ,$ Kotangens:    $f(x)\; =\; \backslash cot\; x\; \backslash ,$

Definition

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Trigonometrie.svg Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem in Flensburg geborenen Thomas Fink (1561-1656), der sie 1583 einführte. „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 223.

Die Wahl des Namen Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

$\backslash overline\{DT\}\; =\; \backslash tan\; b\; \backslash qquad\backslash qquad\; \backslash overline\{EK\}\; =\; \backslash cot\; b$

RechtwinkligesDreieck.png In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels $\backslash alpha$ das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

$$

\tan \alpha=\frac{l_{\rm GK}}{l_{\rm AK}}=\frac{a}{b} \qquad\qquad \cot \alpha=\frac{l_{\rm AK}}{l_{\rm GK}} = \frac{b}{a}

Daraus folgt unmittelbar:

$\backslash tan\backslash alpha=\backslash frac\{1\}\{\backslash cot\backslash alpha\}$

sowie

$\backslash tan\backslash alpha\; =\; \backslash cot\backslash beta\; =\; \backslash cot(90^\backslash circ-\backslash alpha).$

Eigenschaften

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Verlauf

Tan.png

Cot.png

Definitionsbereich

{|cellpadding=5 Tangens: Kotangens:   

Wertebereich

Periodizität

Periodenlänge $\backslash pi$ : $f(x+\backslash pi)\; =\; f(x)\; \backslash ,$

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

$\backslash tan(-x)\; =\; -\backslash tan\; x\; \backslash qquad\backslash qquad\; \backslash cot(-x)\; =\; -\backslash cot\; x$

Nullstellen

{|cellpadding=5 Tangens: $x\; =\; n\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash \; ;\backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ Kotangens:    $x\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; n\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash ,\; ;\backslash ,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

Polstellen

{|cellpadding=5 Tangens: $x\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; n\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash \; ;\backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ Kotangens:    $x\; =\; n\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash \; ;\backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

Wendepunkte

{|cellpadding=5 Tangens: $x\; =\; n\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash \; ;\backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ Kotangens:    $x\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; n\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash pi\backslash \; ;\backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema

Wichtige Funktionswerte

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Tangens	Kotangens	Ausdruck	Wert
$\backslash tan0^\backslash circ$	$\backslash cot90^\backslash circ$	$0\backslash ,$	0
$\backslash tan30^\backslash circ$	$\backslash cot60^\backslash circ$	$\backslash frac1\{\backslash sqrt3\}$	≈ 0,577
$\backslash tan45^\backslash circ$	$\backslash cot45^\backslash circ$	$1\backslash ,$	1
$\backslash tan60^\backslash circ$	$\backslash cot30^\backslash circ$	$\backslash sqrt3$	≈ 1,732
$\backslash tan90^\backslash circ$	$\backslash cot0^\backslash circ$	$\backslash infty\backslash ,$	$\backslash infty\backslash ,$

Umkehrfunktion

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Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens:

$\backslash tan:\backslash ,(-\backslash pi/2,\backslash ,\backslash pi/2)\backslash to\backslash R$.

Ihre Umkehrfunktion

$\backslash operatorname\{arctan\}:\backslash R\backslash to\backslash ,(-\backslash pi/2,\backslash ,\backslash pi/2)$

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens:

$\backslash cot:\backslash ,(0,\backslash ,\backslash pi)\backslash to\backslash R$.

Ihre Umkehrfunktion

$\backslash operatorname\{arccot\}:\backslash R\backslash to\backslash ,(0,\backslash ,\backslash pi)$

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

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Tangens:

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x\; =\; 0$ (MacLaurinsche Reihe) lautet

$$

\tan x=x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1}

Dabei sind mit $B\_n$ die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens:

Der Anfang der Laurent-Reihe lautet:

$\backslash cot\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}x\; -\; \backslash frac\{1\}\{45\}x^3\; -\; \backslash frac\{2\}\{945\}x^5\; -\; \backslash frac\{1\}\{4725\}x^7\; -\; \backslash dots$ für

Die so genannte Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet

$\backslash pi\backslash cot\backslash pi\; x=\backslash frac1x+\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\backslash left(\backslash frac1\{x+k\}+\backslash frac1\{x-k\}\backslash right)=\backslash frac1x+\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\backslash frac\{2x\}\{x^2-k^2\}$ für $x\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash setminus\backslash mathbb\; Z$.

Ableitung

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Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Tangens:

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash tan\; x\; =\; 1\; +\; \backslash tan^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2\; x\}=\backslash sec^2\; x$

Kotangens:

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash cot\; x\; =\; -1\; -\; \backslash cot^2\; x\; =\; -\backslash frac1\{\backslash sin^2x\}=-\; \backslash csc^2\; x$

Integral

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Tangens:

$\backslash int\; \backslash tan\; (ax)\backslash \; \backslash mathrm\; dx\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash ln|\backslash cos\; (ax)|\}\{a\}$

Kotangens:

$\backslash int\; \backslash cot\; (ax)\backslash \; \backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash frac\{\backslash ln|\backslash sin\; (ax)|\}\{a\}$

Beziehungen zu anderen Funktionen

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Tangens:

$\backslash tan\; x\; =\; \{\backslash sin\; x\; \backslash over\backslash cos\; x\}$

Kotangens:

$\backslash cot\; x\; =\; \{\backslash cos\; x\; \backslash over\backslash sin\; x\}$

Additionstheoreme

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Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

$\backslash tan(x\; \backslash pm\; y)=\backslash frac\{\backslash tan\; x\; \backslash pm\; \backslash tan\; y\}\{1\; \backslash mp\; \backslash tan\; x\backslash tan\; y\}\; \backslash qquad\; \backslash cot(x\; \backslash pm\; y)=\backslash frac\{\backslash cot\; x\backslash cot\; y\; \backslash mp\; 1\}\{\backslash cot\; y\; \backslash pm\; \backslash cot\; x\}$

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

$\backslash tan\; x+\backslash tan\; y+\backslash tan\; z=\backslash tan\; x\; \backslash tan\; y\; \backslash tan\; z\; \backslash ,$ bzw. $\backslash cot\; x\; \backslash cot\; y+\backslash cot\; y\; \backslash cot\; z+\backslash cot\; z\; \backslash cot\; x=1\; \backslash ,$

wenn $x+y+z$ ein Vielfaches von $\backslash pi$ ist.

Rationale Parametrisierung

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Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist $t=\backslash tan\backslash frac\backslash alpha2$, so ist

$\backslash sin\backslash alpha=\backslash frac\{2t\}\{1+t^2\},\backslash quad\backslash cos\backslash alpha=\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\},\backslash quad\backslash tan\backslash alpha=\backslash frac\{2t\}\{1-t^2\}.$

Insbesondere ist

$\backslash R\backslash to\backslash R^2,\backslash quad\; t\backslash mapsto\backslash left(\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\},\backslash frac\{2t\}\{1+t^2\}\backslash right)$

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes $(-1,0)$ (der dem Parameter $t=\backslash infty$ entspricht). Einem Parameterwert $t$ entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von $(-1,0)$ und $(1,2t)$ mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

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Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion $f:\backslash R\backslash to\backslash R,\backslash ;x\backslash mapsto\; mx\; +\; c$ besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung $m$ der Geraden, d. h. $m\; =\; \backslash tan\backslash ,\backslash alpha$

Bei negativer Steigung () gilt: $m\; =\; -\backslash tan\backslash alpha$

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Differentialgleichung

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Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung

$w\text{'}\; =\; 1+w^2$.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

$w\text{'}\; =\; 1+w^2=\; (w+\backslash mathrm\; i)(w-\backslash mathrm\; i)$

mit der imaginären Einheit $\backslash mathrm\; i$. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte $\backslash mathrm\; i$, $-\backslash mathrm\; i$: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen $\backslash mathrm\; i$ und $-\backslash mathrm\; i$ Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Quellen

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Siehe auch

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• Umrechnungstabelle (Trigonometrie)
• Trigonometrische Funktion

Weblinks

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Trigonometrie | Trigonometrische Funktion

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