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Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch.

Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation.

Formale Definition

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Ist $M$ eine Menge und $R\; \backslash subseteq\; M\; \backslash times\; M$ eine zweistellige Relation auf $M$, dann heißt $R$ symmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

$\backslash forall\; x,\; y\; \backslash in\; M:\; x\; R\; y\; \backslash Rightarrow\; y\; R\; x$

Beispiele

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Gleichheit der reellen Zahlen

Die gewöhnliche Gleichheit $=\backslash$ auf den reellen Zahlen ist symmetrisch, denn aus $x=y$ folgt $y=x$. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Die Ungleichheitsrelation $\backslash neq$ auf den reellen Zahlen ist zwar keine Äquivalenzrelation, aber ebenfalls symmetrisch, denn aus $x\; \backslash neq\; y$ folgt $y\; \backslash neq\; x$.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Ist das Dreieck ABC zum Dreieck DEF ähnlich, so ist das Dreieck DEF zum Dreieck ABC ähnlich. Die Relation der Ähnlichkeit von Dreiecken ist also symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Kongruenz modulo n

Eine natürliche Zahl a heißt zu der natürlichen Zahl b kongruent modulo n, wenn a und b bei der Division durch n denselben Rest haben. Beispielsweise ist die Zahl 11 zur Zahl 18 kongruent modulo 7, da sich bei der Division dieser beiden Zahlen durch 7 jeweils der Rest 4 ergibt. Diese Relation ist symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Ordnung der reellen Zahlen

Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist nicht symmetrisch, denn

Darstellung als gerichteter Graph

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Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a\; \backslash longrightarrow\; b$) gezogen, wenn a R b gilt.

Die Symmetrie von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil $a\; \backslash longrightarrow\; b$ zwischen verschiedenen Knoten a und b des Graphen gibt, dann gibt es gleichzeitig einen Pfeil $b\; \backslash longrightarrow\; a$.

Pfeile $a\; \backslash longrightarrow\; a$ spielen bei diesem Kriterium keine Rolle.

Eigenschaften

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• Mit Hilfe der konversen Relation $R^\{-1\}$ lässt sich die Symmetrie einer Relation $R$ charakterisieren durch

  $R\; =\; R^\{-1\}\backslash$

• Ist die Relation $R$ symmetrisch, dann gilt dies auch für die komplementäre Relation $R^\{\backslash rm\; c\}$. Diese ist definiert durch

  $x\; R^\{\backslash rm\; c\}\; y\; :\backslash Longleftrightarrow\; \backslash neg\; x\; R\; y$.

• Sind die Relationen $R$ und $S$ symmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge $R\; \backslash cap\; S$ und ihre Vereinigungsmenge $R\; \backslash cup\; S$. Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt $\backslash cap\_\{i\backslash in\; I\}\; R\_i$ und die Vereinigung $\backslash cup\_\{i\backslash in\; I\}\; R\_i$ einer beliebigen (nichtleeren) Familie von symmetrischen Relationen verallgemeinern.
• Die kleinste symmetrische Relation $S$, die eine gegebene Relation $R$ umfasst, wird der symmetrische Abschluss von $R$ genannt. Dieser lässt sich leicht angeben als

  $S\; :=\; R\; \backslash cup\; R^\{-1\}\backslash$

• Zu einer beliebigen zweistelligen Relation $R$ auf einer Menge lassen sich die Potenzen $R^n$ bezüglich der Verkettung von Relationen bilden. Ist nun $R$ symmetrisch, dann gilt dies auch für alle Potenzen $R^n$.
• Eine Relation (auf einer endlichen Menge) ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem Graphen zugeordnete Adjazenzmatrix symmetrisch (zur Hauptdiagonale) ist.

Siehe auch

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• Antisymmetrie
• Asymmetrie
• Äquivalenzrelation

Mengenlehre

Symetrická relace | Symmetric relation | Relación simétrica | Szimmetrikus reláció | Relazione simmetrica | Relacja symetryczna | Symetrická relácia | Symmetrisk relation | 对称关系