Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

Formulierung der Strahlensätze

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Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

1. Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
2. Die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.
3. Je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, stehen in gleichem Verhältnis zueinander. (Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Strahlen voraus.)

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

Strahlensatz.png

Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer "V-Figur" (linke Skizze), im zweiten von einer "X-Figur" (rechte Skizze).

Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes): Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Verwandte geometrische Konzepte

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Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke ZAB und ZA'B' sind in beiden Skizzen zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen - eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.

Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In der linken Skizze bildet beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) 1,5 die Punkte A und B auf die Punkte A' bzw. B' ab. Entsprechendes gilt für die rechte Skizze; hier ist der Streckungsfaktor gleich -0,5.

Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel

$\backslash lambda\; (\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\})\; =\; \backslash lambda\; \backslash vec\{a\}\; +\; \backslash lambda\; \backslash vec\{b\}$

für zwei Vektoren $\backslash vec\{a\}$, $\backslash vec\{b\}$ und einem reellen Skalar $\backslash lambda$ ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz.

Anwendungsbeispiel

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Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser soll mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt haben.

Messung_Pyramide.png

Diese Berechnung könnte - abgesehen von der Längeneinheit und der Schreibweise - etwa folgendermaßen ausgesehen haben:

Höhe des Stabes: $\backslash overline\{AB\}\; =\; 1\{,\}63\backslash ,\backslash rm\; m$

Schattenlänge des Stabes: $\backslash overline\{ZA\}\; =\; 2\{,\}00\backslash ,\backslash rm\; m$

Abstand des Stabes von der Pyramide: $\backslash overline\{AC\}\; =\; 63\backslash ,\backslash rm\; m$

Seitenlänge der Pyramide: $\backslash overline\{CD\}\; =\; 230\backslash ,\backslash rm\; m$

$\backslash overline\{A\text{'}B\text{'}\}\; :\; \backslash overline\{AB\}\; =\; \backslash overline\{ZA\text{'}\}\; :\; \backslash overline\{ZA\}$

$\backslash overline\{A\text{'}B\text{'}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{ZA\text{'}\}\}\{\backslash overline\{ZA\}\}\; =\; \backslash frac\{1\{,\}63\backslash ,\backslash rm\; m\; \backslash cdot\; (2\{,\}00\backslash ,m\; +\; 63\backslash ,m\; +\; 230\backslash ,m\; :\; 2)\}\{2\{,\}00\backslash ,\backslash rm\; m\}$

= \frac{1{,}63\,\rm m \cdot 180\,m}{2{,}00\,\rm m} = \underline{146,7\,\rm m}

Ebene Geometrie

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