In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit (nach alter Rechtschreibung: Stopzeit) eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von hoher theoretischer Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen.

Definition

Sei $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{F\},\; P)$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, also ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtrierung $(\backslash mathcal\{F\}\_t),\; \backslash ;t\backslash ge\; 0$. Eine nichtnegative Zufallsvariable $\backslash tau:\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R\_0^\{+\}\; \backslash cup\; \backslash infty$ heißt Stoppzeit, falls

$\backslash forall\; t\; \backslash ge\; 0:\; \backslash ;\backslash ;\backslash \{\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega:\; \backslash ;\; \backslash tau(\backslash omega\; )\; \backslash le\; t\; \backslash \}\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\_t$ gilt.

Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

Beispiele

• Ein Glücksspieler beginnt in t=0 mit einem Startkapital von 10 € zu spielen; dabei absolviert er jede Minute ein Spiel (das der Einfachkeit halber selbst keine Zeit in Anspruch nimmt), bei dem er mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Euro gewinnt und ansonsten einen Euro verliert (der Kontostand des Spielers ist dann ein Martingal). Die Wartezeit, bis der Spieler sein gesamtes Geld verspielt hat, ist dann zum Beispiel eine Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtrierung des Experiments: zu jedem Zeitpunkt weiß der Spieler, ob er bereits Pleite ist oder nicht. Dagegen wäre die Wartezeit bis zum Augenblick seines vorletzten Spiels keine Stoppzeit: in dem Moment, da man sein vorletztes Spiel absolviert, weiß man noch nicht, dass das nächste Spiel das letzte sein wird.

• Die Treffzeit (hitting-time) eines Wiener Prozesses mit Drift μ zum Level a ist nach einer inversen-Gauss-Verteilung verteilt. Die Dichte ist $f\_\{IG\}(t)=\backslash frac\{a\; \backslash exp(a\; \backslash mu)\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}t^\{-3/2\}\backslash exp\{-\backslash frac\{1\}\{2\}(a^2\; t^\{-1\}+\backslash mu^2\; t)\},\; t>0$

• Eine Verallgemeinerung des einfachen Beispiels von oben: ist $(X\_t),\backslash ;t\; \backslash ge\; 0$ ein reellwertiger, adaptierter càdlàg-Prozess (also ein stochastischer Prozess, dessen Pfade alle rechtsseitig stetig und linksseitig konvergent sind) und $A\; \backslash subseteq\; \backslash R$ eine abgeschlossene Menge, so ist die Treffzeit von X in A, definiert als

$\backslash tau\_A(\backslash omega)\; :=\; \backslash inf\backslash \{\; t\; \backslash ge\; 0:\; \backslash ;\; X\_t(\backslash omega)\; \backslash in\; A\; \backslash \}$

eine Stoppzeit. $\backslash tau\_A$ gibt also den infimalen Zeitpunkt an, an dem X zum ersten Mal die Menge A betritt. Dabei ist es essentiell, dass A abgeschlossen ist: zum Zeitpunkt t könnte X bereits auf dem Rand von A, aber noch nicht in A sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar $\backslash tau\_A\; =t$ (man beachte das Infimum!), jedoch ist in t noch nicht bekannt, ob A gleich betreten wird oder nicht.

Stochastische Prozesse

Stopping rule