Stochastische Unabhängigkeit modelliert die Anschauung, dass bestimmte statistische Ereignisse nichts miteinander zu tun haben, also unabhängig voneinander sind. Stochastisch bedeutet: in wahrscheinlichkeitstheoretischer Hinsicht.

Zum Beispiel sind zwei Würfe einer Münze voneinander unabhängig, d. h. das Ergebnis des zweiten Wurfs ist nicht abhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Als Beispiel für zwei voneinander abhängige Ereignisse kann man die Regenwahrscheinlichkeit an zwei aufeinander folgenden Tagen ansehen. Zwischen diesen beiden Tagen besteht nämlich ein (wenn auch komplexer) Zusammenhang, der durch die Meteorologie beschrieben wird.

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

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Formale Definition

Zwei Ereignisse A und B, die (messbare) Teilmengen einer nichtleeren Ergebnismenge Ω sind, heißen stochastisch unabhängig, wenn

$P(A\backslash cap\; B)=P(A)\backslash cdot\; P(B)$

ist, das heißt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zusammen auftreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

Beispiel

Der Student Harry fährt an 60 % aller Tage mit dem Rad (Ereignis R) an die Uni. Sonst nimmt er den Bus. An 30 % der Tage trägt er eine gepunktete Krawatte (Ereignis K), sonst eine gestreifte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Harry heute auf dem Rad mit einer gepunkteten Krawatte aufkreuzt? Wir wollen davon ausgehen, dass das Muster der Krawatte eigentlich nichts mit der Fortbewegungsart zu tun hat, dass also R stochastisch unabhängig von K ist und können dann berechnen:

$P(R\; \backslash cap\; K)=P(R)\backslash cdot\; P(K)\; =\; 0\{,\}6\; \backslash cdot\; 0\{,\}3\; =\; 0\{,\}18\; \backslash \; .$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 0,18 oder man könnte sagen, an 18 % aller Tage kommt Harry mit dem Rad und hat eine gepunktete Krawatte an.

Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse

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Verallgemeinerte Definition

Sei $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $I$ eine nichtleere Indexmenge und $(\backslash Sigma\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ mit $\backslash Sigma\_i\backslash subset\; \backslash Sigma$ für alle $i\backslash in\; I$ eine Menge nichtleerer Mengensysteme, so heißen $(\backslash Sigma\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ stochastisch unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge $J\backslash subset\; I$ und alle Wahlen $A\_j\backslash in\backslash Sigma\_j$ mit $j\backslash in\; J$ gilt:

$P(\backslash cap\_\{j\backslash in\; J\}\; A\_j)\; =\; \backslash Pi\_\{j\backslash in\; J\}\; P(A\_j)$.

Eine Menge von Zufallsgrößen heißt stochastisch unabhängig, wenn ihre Urbild-σ-Algebren stochastisch unabhängig bezüglich obiger Definition sind.

Beispiel

Folgendes Beispiel von Bernstein (1928) zeigt die paarweise Unabhängigkeit von drei Ereignissen A_1, A_2 und A_3, die aber nicht gemeinsam (also A_1, A_2 und A_3 gleichzeitig) unabhängig sind.
In einer Schachtel befinden sind 4 Zettel mit folgenden Zahlenkombinationen: 112, 121, 211, 222. Einer der Zettel wird zufällig (je mit Ws 1/4) gezogen. Wir betrachten dann folgende drei Ereignisse: A_1={1 an erster Stelle}, A_2={1 an zweiter Stelle} und A_3={1 an dritter Stelle}. Offensichtlich gilt P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/2 und P(A_1 A_2)=P(A_1 A_3)=P(A_2 A_3)=P(A_2 A_3)=1/4, die drei Ereignisse sind also paarweise unabhängig.
Trotzdem gilt P(A_1 A_2 A_3)=0 und nicht 1/8, also sind die drei Ereignisse nicht unabhängig.
Weiters kann aus P(A_1 A_2 A_3)=P(A_1) P(A_2) P(A_3) nicht geschlossen werden, dass die drei Ereignisse unabhängig sind.

Bemerkungen

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Bei methodisch korrektem Vorgehen kann man nicht einfach Unabhängigkeit vermuten, sondern man muss sie anhand obiger Formel überprüfen. Dabei ist meistens die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B) nicht von vornherein gegeben. Bei der praktischen Auswertung erhobener Daten kann man beispielsweise mit einem χ²-Test die Merkmale auf stochastische Unabhängigkeit testen.

Für die Analyse auf Abhängigkeit kann man auch den Korrelationskoeffizienten zweier Zufallsvariablen verwenden. Wenn dieser ungleich Null ist, sind diese Variablen stochastisch abhängig. Der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, denn es können Abhängigkeitsstrukturen vorliegen, die der Korrelationskoeffizient nicht erfassen kann. Jedoch sind beispielsweise unkorrelierte, gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig.

Siehe auch

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• Zufall, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Zusammenhangsmaß
• Korrelationskoeffizient, Multivariate Verteilung, Reproduktivität

Stochastik

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