Stochastik

Stochastik als ein Teilgebiet der Mathematik ist die Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Sie ist ein verhältnismäßig junger Teilbereich der Mathematik, zu dem im weiteren Sinne auch die Kombinatorik, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Statistik gehören.

Überblick

Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie „Kunst des Mutmaßens“. Mathematische Stochastik ist die Beschreibung und Untersuchung von:

Zufallsexperimenten (z. B. Würfeln, Münzwurf oder Reißzweckenwurf) und deren Ausgang (Ereignis),
zeitlichen Entwicklungen bzw.
räumlichen Strukturen,

die vom Zufall beeinflusst werden.

Solche Ereignisse, Entwicklungen bzw. Strukturen werden oft durch Daten dokumentiert, für deren Analyse die Statistik geeignete Methoden bereitstellt.

Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa die Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne berechnen oder die Größe des möglichen Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen.

Die Stochastik ist auch für die Finanzmathematik von Bedeutung und hilft mit ihrer Methodik beispielsweise bei der Preisfindung für Optionen.

Wichtige Begriffe

Die Prognose ist dabei ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse
ein Maß für den Grad an persönlicher Überzeugung (Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff), also letztlich eine Erweiterung der Aussagenlogik

Wahrscheinlichkeit Lotto h(x,49,6,6).png Wahrscheinlichkeiten werden als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben, wobei Null und Eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 wird als unmöglich (Unmögliches Ereignis), eines mit Wahrscheinlichkeit 1 als sicher interpretiert (Sicheres Ereignis).

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses kann errechnet werden, indem man die absolute Häufigkeit, das heißt die Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche, dividiert wird. Für eine unendliche Anzahl von Versuchen geht diese relative Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über, in der Praxis werden sie bei endlicher (großer) Versuchsanzahl gleichgesetzt.

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben „P“ (von frz. probabilité, eingeführt von Laplace) oder „W“ dargestellt.

Wahrscheinlichkeiten haben keine Einheit, daher werden sie als Prozentangaben (z. B. 20 %, das heißt 20/100), Dezimalzahlen (z. B. 0,2), Brüche (z. B. 2/10) oder absolute Häufigkeiten (z. B. 2 von 10 oder 2 zu 8) angegeben. Die Angabe der absoluten Häufigkeit enthält mehr Information, da sie Rückschlüsse auf die Genauigkeit der Wahrscheinlichkeit zulässt.

Regeln:

$P(\Omega)=1\,$ . Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1.
$P(\emptyset)=0$ .Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.
$0 \leq P(A) \leq 1$ . Alle Wahrscheinlichkeiten von mehr bzw. minder wahrscheinlichen Ereignissen liegen dazwischen.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten (komplementären) Ereignisses ist 1 - der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst.
$\sum_{i=1}^n P(A_i) = 1$ In einem vollständigen System von Ereignissen $A_i$ ist die Summe deren Wahrscheinlichkeiten gleich 1.

Einfache Beispiele:

Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf das Wappen zu bekommen beträgt beim ehrlichen Wurf einer Münze 0,5
Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel bei einem Wurf eine 6 zu erhalten beträgt 1/6 = 0,16666...

Unmögliche Ereignisse

Dass einem Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null zugeordnet wird, heißt nicht, dass es prinzipiell unmöglich ist. Beispielsweise kann die Messung einer Wahrscheinlichkeit so unglücklich sein, dass auch nach vielen Versuchen die Wahrscheinlichkeit eines eigentlich möglichen Ereignisses mit Null angegeben wird.

Die Wahrscheinlichkeit, aus den reellen Zahlen eine natürliche Zahl zu ziehen ist Null, obwohl dies offenbar genauso möglich ist, wie irgend eine andere Zahl zu ziehen. Die Begründung ist, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit zwischen Null und Eins liegen muss. Wenn sie nun nicht Null wäre, so würde aus dem Satz des Archimedes sofort folgen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit größer Eins wäre (nämlich unendlich). Damit wäre es aber gar keine Wahrscheinlichkeit. Wenn es also eine Wahrscheinlichkeit gibt, muss sie zwingend Null sein, da kein anderer Wert in Frage kommt.

Begriffe aus der Stochastik

Bereiche der Stochastik

Beispiele

Ziegenproblem, auch als 'Drei-Türen-Problem' bekannt.

Weblinks

http://www.carsten-buschmann.de/skripte/wt.htm Wahrscheinlichkeitstheorie auf Universitätsniveau